第二节 数列的极限

数列的概念：如果按照某一法则，对每个 \(n\in N\), 对应着一个确定的实数 \(x_n\), 这些实数 \(x_n\), 按照下标 n 从小到大排列得到的一个序列 \(x₁,x₂,x₃,\cdots ,x_n, \cdots ,\) 就叫做数列，简记为数列 \({x_n}\). 数列中的每一个数叫做数列的项，第 n 项 \(x_n\) 叫做数列的一般项(或通项)

一、数列极限的定义

定义： 设 \({x_n}\) 为一数列，如果存在常数 a, 对于任意给定的正数 \(\varepsilon\) (不论它多么小), 总存在正整数 N, 使得当 n > N 时，不等式 \(|x_n-a| < \varepsilon\) 都成立，那么就称常数 a 是数列 \({x_n}\) 的极限，或者称数列 \({x_n}\) 收敛于 a, 记为
\(\qquad \underset{n\rightarrow \infty}{lim} x_n = a\)，
或
\(\qquad x_n\rightarrow a (n\rightarrow \infty）\)，

  如果不存在这样的常数 a, 就说数列 \({x_n}\) 没有极限，或者说数列 \({x_n}\) 是发散的，习惯上也说 \(\underset{n\rightarrow \infty}{lim}\) 不存在.

  为了表达方便，引入记号 \(\forall\) 表示“对于任意给定的”或“对于每一个”,记号 \(\exist\) 表示“存在”. 于是，“对于任意给定的ε>0”写成“\(\forall \varepsilon > 0\)”,“存在正整数 N”写成“\(\exist\) 正整数 N”, 数列极限 \(\underset{n\rightarrow \infty}{lim} x_n = a\) 的定义可表达为
\(\qquad \underset{n\rightarrow \infty}{lim} x_n = a \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exist 正整数 N, 当 n > N 时，有 |x_n - a| < \varepsilon\).

可以用 \(|x_n -a|\) 小于某一个量，然后这个量小于 \(\varepsilon\) 来简化计算

二、收敛数列的性质

定理1： (极限的唯一性) 如果数列 \({x_n}\) 收敛，那么它的极限唯一

对于数列 \({x_n}\), 如果存在正数 M, 使得对于一切 x, 都满足不等式
\(\qquad |x|≤M\),
那么称数列 \({x_n}\) 是有界的；如果这样的正数 M 不存在，就说数列 \({x_n}\) 是无界的.

定理2: (收敛数列的有界性) 如果数列 \({x_n}\) 收敛，那么数列 \({x_n}\) 一定有界.

定理3: (收敛数列的保号性) 如果 \(\underset{n\rightarrow \infty}{lim} x_n = a\), 且 \(a>0 (或a<0)\), 那么存在正整数 N, 当 n>N 时，都有\(x_n>0 ( 或x_n<0)\).

推论： 如果数列 \({x_n}\) 从某项起有 \(x_n≥0 ( 或x_n≤0)\), 且\(\underset{n\rightarrow \infty}{lim} x_n = a\), 那么 \(a≥0(或a≤0)\).

定理4: (收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列 \({x_n}\) 收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是 a