随机试验:
- 可以在相同条件下重复进行
- 多种可能
- 在实验前不确定是那种结果
样本空间:
随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间
样本点: 样本空间中的一个元素
- 样本空间中的元素可以是数也可以不是数.
- 样本空间至少有两个样本点，含两个样本点的样本空间是最简单的样本空间.
- 从样本空间含有样本点的个数来区分, 样本空间可分为有限与无限两类
随机事件
随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件, 简称事件.常用大写字母A,B,C等表示。如在掷一颗骰子中, A = “出现奇数点”是一个事件, 即 \(A =\{1,3,5\}\)
在以上事件的定义中, 要注意以下几点.
- 任一事件 A 是相应样本空间的一个子集. 在概率论中常用一个长方形表示样本空间 ˝, 用其 中一个圆或其他几何图形表示事件 A, 这类图形称为维恩（Venn）图.
- 当子集 A 中某个样本点出现了, 就说事件 A 发生了, 或者说事件 A 发生当且仅当 A 中某个样本点出现了.
- 事件可以用集合表示, 也可用明白无误的语言描述.
- 由样本空间 ˝ 中的单个元素组成的子集称为
基本事件, 而样本空间 ˝ 的最大子集（即 ˝ 本 身）称为必然事件, 样本空间 ˝ 的最小子集（即空集 \(\phi\)）称为不可能事件
随机变量
用来表示随机现象结果的变量称为随机变量, 常用大写字母 X, Y , Z 表示. 很多事件都可用随机变量表示, 表示时应写明随机变量的含义.
概率
概率性质:
- 概率的可加性
若有限个事件 A1, A2, ..., An 互不相容, 则有\[P(\bigcup _{i=1}^n A_{i}) = \sum_{i = 1}^nP(A_{i}) \] - 概率单调性
若 \(A \supset B:P(A-B) = P(A)-P(B)\)
对任意两个事件:A,B则有:\(P(A - B) = P(A) - P(AB)\) - 概率加法公式
对任意两个事件 A, B, 有 $ P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) $
(半可加性). 任意两个事件 A, B, 有 \(P(A\cup B) \le P(A) + P(B)\)
条件概率:
所谓条件概率，它是指在某事件 B 发生的条件下, 求另一事件 A 的概率, 记为\(P(A|B)\)
乘法公式
- 若P(B) > 0，则
- 若\(P(A_{1}A_{2}..A_{n-1}) > 0\),则 \(P(A_{1}...A_{n}) = P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{2}A_{1}).....P(A_{n}|A_{1}...A_{n-1})\)
全概率公式
设B1; B2;.... ; Bn 为样本空间 ˝ 的一个分割(见图 14.2), 即B1; B2; ... ; Bn 互不相容, 且 $\bigcup {i=1}^nB = \Omega \(,如果\)P(B_{i}) > 0,i = 1,2,...n$ 则对任一事件 A 有
贝叶斯公式
设 B1; B2;... ; Bn 是样本空间 \(\Omega\)的一个分割, 即 B1; B2;... ; Bn 互不相
容, 且 $\bigcup {i=1}^nB = \Omega $, 如果 \(P(A) > 0\),$ P(B_{i}) > 0$, \(i=1; 2;... ; n\), 则
独立性
事件 A 发生对 B也无影响，可见独立性是相互的，它们都等价于 \(P(AB) = P(A)P(B)\)
性质: 若事件 A 与 B 独立，则 A 与 \(\overline{B}\) 独立；\(\overline{A}\) 与 B 独立；\(\overline{A}\) 与 \(\overline{B}\) 独立.
多个事件的相互独立
设 A; B; C 是三个事件,如果有
\(P(AB) = P(A)P(B)\) \(P(AC) = P(A)P(C)\) \(P(BC) = P(B)P(C)\) 则A,B,C两两独立，如果还有\(P(ABC) = P(A)P(B)P(C)\),则称A,B,C相互独立.
随机变量
在样本空间\(\Omega\)上的实值函数 \(X = X(w)\) 称为随机变量, 常用大写字母 X; Y; 等表示随机变量, 其取值用小写字母 x,y表示. 假如一个随机变量仅取有限个或可列个值, 则称其为离散随机变量. 假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间,则称其为连续随机变量。