群的同态与同构

同态(Homomorphism)

现在我们能够更深刻地理解“群”到底描述了什么。群描述且仅描述一个给定集合以及定义在该集合上的唯一的一个二元运算。任意给定群里的两个元素，我们总能通过“运算”这一方式确定是群里的哪个元素与这两个元素对应。如果我们抛开群中每个元素的具体名字不看，元素个数与这种由每两个元素之间的唯一确定第三个元素的方式就是一个群描述的全部信息。这就是群的结构。所以我们定义了群与群的同构，同构描述了两个群拥有完全相同的结构：两个群的元素的个数以及元素间跳转的方式完全相同。同构说明这两个群除了元素的具体命名方式不同以外没有任何区别。

有没有不那么严格一些地描述两个群之间结构的相似性的刻画呢？例如，我们显然知道\(G\)与商群\(G/N\)之间并不同构，但在自然映射\(\pi:G\to G/N\)中，\(\pi\)依然具有保运算的性质：\(\pi(a)\pi(b)=aNbN=(ab)N=\pi(ab)\)。可见\(\pi\)是一个虽然保运算但并不构成双射的映射，我们把它称为“同态映射”(Homomorphism)。称\(f:G\to G'\)是群\((G,\cdot)\)与\((G',\circ)\)之间的同态映射，如果\(\forall a,b\in G\)，\(f(a\cdot b)=f(a)\circ f(b)\)。我们发现，同态与同构的定义很类似，都要求映射保运算。只不过在同态映射中，我们不要求\(f\)在\(G\)与\(G'\)之间形成双射，只需要是任何一个普通的映射就好了。同构是一种非常特殊的同态。同态的这种保运算的性质使得我们能继承同构中得到的一些不依赖于双射的结论，例如\(f(e_G)=e_{G'}\)，\(f(a^{-1})=f(a)^{-1}\)等。我们称自然映射\(\pi\)为自然同态(Natural Homomorphism)。我们将会看到，同态这一概念的提出是非常关键且非常深刻的，它对我们讨论群的性质将会发挥巨大作用。

我们还要引入一些术语。如果同态映射\(f\)同时是一个单射，那么就称\(f\)为单同态(Monomorphism)映射。相应的，如果\(f\)是满射，就称之为满同态(Epimorphism)。\(f\)是双射则直接称为同构(Isomorphism)。类似我们定义过集合到其本身的同构为自同构(Automorphism)，集合到其本身的同态称为自同态(Endomorphism)。

群的同构定理

第一同构定理

群的第一同构定理就为我们解答了：同态是如何刻画两个群之间结构的相似性的。它指出，同态映射\(f:G\to G'\)总是把确定个数个\(G\)中的元素映射到一个\(G'\)中的元素，同态是一种颗粒度确定的同构的模糊化。极端地，如果\(f\)把所有元素都映射到了单位元，那么显然保运算的性质永远满足，它确实是一个同态映射。但这样的映射没有保留\(G\)的任何信息。相反的极端，如果\(f\)是双射，同态就回到了同构，它完全复制了\(G\)的信息，没有产生任何模糊化。而一般的，如果\(f\)总是使得\(k\)个\(G\)中的元素映射到某个\(G'\)中的元素，那么群的结构就产生了\(k\)倍的模糊。群的第一同构定理还为我们解答了如何来计算这一模糊化的比例，因为如果颗粒度确实是一个常数，那么我们只需关注\(f\)将多少不同元素映射到了\(G'\)的单位元\(e_{G'}\)上。这样的元素越多，映射就越模糊。

\(G\)中被同态\(f\)映射到\(e_{G'}\)的元素集合称为同态\(f\)的kernel(核)，记为：\(\ker f=\{a\in G\mid f(a)=e_{G'}\}\)。我们发现，\(\ker f\)构成了\(G\)的一个正规子群！首先\(\ker f\)是子群：根据子群的等价定义，\(\forall a,b\in \ker f\)，\(f(a)=f(b)=e_{G'}\)。\(f(a\cdot b^{-1})=f(a)\circ f(b)^{-1}=e_{G'}\)，因此\(a\cdot b^{-1}\in \ker f\)。进一步证明正规子群的等价定义成立：\(\forall c \in G\)，\(c(\ker f)c^{-1}\subseteq\ker f\)，因为\(\forall d\in \ker f\)，\(f(cdc^{-1})=f(c)\circ f(d)\circ f(c)^{-1}\)\(=f(c)\circ f(c)^{-1}=e_{G'}\)。

如果kernel大小为1，也即只包含单位元，那么我们证明\(f\)是单射：若\(f(a)=f(b)\)，则\(f(a)^{-1}=f(b)^{-1}\)，因此\(f(a)\circ f(a)^{-1}=e_{G'}=f(a)\circ f(b)^{-1}=f(a\cdot b^{-1})\)，因此\(a\cdot b^{-1}\in \ker f\)，也即\(a\cdot b^{-1}=e_G\)，故\(a=b\)。而显然\(f\)是单射能推出\(\ker f=\{e_{G'}\}\)。综上，\(f\)是单射当且仅当\(\ker f=\{e_{G'}\}\)。

群的第一同构定理：若\(f:G\to G'\)是同态映射， 则\(G/\ker f \cong f(G)\)。也就是说，我们恰好可以用\(\ker f\)形成的商群来描述这一模糊化，它与同态映射的像是一一对应且保运算的。

首先，我们需要保证\(f(G)\)的确构成群。事实上我们可以证明，\(G\)的所有子群经同态映射的像也总是子群：如果\(M\preceq G\)，则像集\(f(M)\preceq G'\)。因为\(\forall a,b\in M,a\cdot b^{-1}\in M\)，所以\(f(a)\circ f(b)^{-1}=f(ab^{-1})\in f(M)\)。\(f(a),f(b)\)取遍了\(f(M)\)中所有元素，因此根据子群的等价定义\(f(M)\)是子群。取\(M=G\)，我们看到\(f(G)\preceq G'\)。可见\(f(G)\)是群。

我们先一般地考虑\(\ker f\)的子群\(N\)生成的商群\(G/N\)，寻找\(G/N\)到\(G'\)的同态。对于\(N\unlhd G\)，我们一定存在自然同态\(\pi:G\to G/N\)。对于同态映射\(f:G\to G'\)，我们能否再构造一个同态映射\(\bar f:G/N\to G'\)，使得\(f=\bar f\circ \pi\)？要满足这一点，\(\forall a\in G\)，我们要求\(f(a)=\bar f(\pi(a))=\bar f(aN)\)。这意味着，同一个陪集里的元素必须被\(f\)映射到唯一的像，不然\(\bar f\)就不成其为映射。而\(N\subseteq \ker f\)，此时\(\forall a,a'\in G\)满足\(aN=a'N\)，也即\(\exists n\in N\)使得\(an=a'\)，也即\(a^{-1}a'\in N\)，因此\(f(a^{-1}a')=e_{G'}=f(a)^{-1}\circ f(a')\)，因此\(f(a')=f(a)\)。可见此时同一个陪集里的元素确实被\(f\)映射到同一个元素了。这样，我们就唯一确定了映射\(\bar f(aN)=f(a)\)，而这也的确是一个同态映射：\(\bar f(aNbN)=\bar f(abN)=f(ab)\)\(=f(a)\circ f(b)=\bar f(aN)\circ \bar f(bN)\)。综上，对于\(N\preceq \ker f\)我们总可以令\(\bar f(aN)=f(a)\)使得\(f=\bar f\circ \pi\)。这称为分解定理(Factor Theorem)。

现在，\(\bar f\)是单射当且仅当\(\ker \bar f=\{N\}\)，而\(\ker \bar f=\{aN\mid \bar f(aN)=e_{G'}\}\)，其中\(\bar f(aN)=e_{G'}\iff f(a)=e_{G'}\iff a\in \ker f\)，换言之这个集合里包含着所有由\(\ker f\)中的元素生成的\(N\)的陪集，这用商群的记号写作\(\ker f/N\)。所以\(\bar f\)是单射当且仅当\(\ker f/N=\{N\}\)，而这只可能是\(\ker f=N\)。综上，\(\bar f\)是单射当且仅当\(\ker f=N\)。假设我们把\(f\)的像集\(f(G)\)当作全集，那么\(\bar f\)就是双射。于是我们得到了\(\bar f\)是双射当且仅当\(\ker f=N\)，此时我们找到了\(G/N\)到\(G'\)的一个同构映射\(\bar f\)，也即：\(G/\ker f \cong f(G)\)。这样我们就证明了群的第一同构定理，同态\(f\)的像集同构于群模\(f\)的kernel得到的商群。

第二同构定理

第二同构定理是第一同构定理在子群上的一个应用。对于子群以及同态映射，我们要补充一些有用的性质。在证明第一同构定理时，我们证明了\(M\preceq G\implies f(M)\preceq G'\)。这本质上是由于同态映射是保运算的，因此如果原像构成群，像也会构成群。也就是说，同态映射是保子群的性质的。这对于逆映射也成立：如果\(K\preceq G'\)，那么\(f^{-1}(K)\preceq G\)。（其中，\(f^{-1}(K):=\{g\in G\mid f(g)\in K\}\)）。因为\(\forall a,b\in f^{-1}(K)\)，\(f(a),f(b)\in K\)。\(f(ab^{-1})=f(a)\circ f(b)^{-1}\in K\)。因此\(ab^{-1}\in f^{-1}(K)\)。根据子群的等价定义，\(f^{-1}(K)\)构成子群。（这条引理以下简称“左子群右子群”）

那么，同态映射是否保子群的正规性呢？我们证明：\(M\unlhd G\implies f(M)\unlhd f(G)\)。因为\(\forall c\in G,cMc^{-1}=M\)，那么\(f(M)=f(cMc^{-1})=\{f(c)f(m)f(c)^{-1}\mid m\in M\}\)\(=f(c)f(M)f(c)^{-1}\)。其中\(f(c)\)取遍\(f(G)\)，因此\(f(M)\unlhd f(G)\)。注意，我们并不能推出\(f(M)\unlhd G'\)，除非\(f(G)=G'\)（\(f\)是满射），因为正规性要求左右乘的元素取遍大群的所有元素，\(M\unlhd G\)没有理由保证左右乘上任何\(G'\)中\(f(G)\)以外的元素拥有这种性质。同理，对正规性的保持对逆映射也成立：如果\(K\unlhd G'\)，那么\(f^{-1}(K)\unlhd G\)：\(\forall c\in G,a\in f^{-1}(K)\)，\(f(cac^{-1})=f(c)\circ f(a)\circ f(c)^{-1}\in K\)，也即\(cf^{-1}(K)c^{-1}\subseteq f^{-1}(K)\)。（这条引理以下简称“左正规右正规”）

现在假设\(H,N\preceq G\)，其中\(N\unlhd G\)。由于\(N\)是正规子群，所以对任何\(c\in G\)都有\(cN=Nc\)，因此自然有\(HN=NH\)。而这根据我们已经证明的，这意味着\(HN\preceq G\)。而既然\(N\unlhd G\)，自然也有\(N\unlhd HN\)，因为\(HN\subseteq G\)。由于\(H,N\preceq G\)，交集自然满足\(H\cap N\preceq G\)。而\(H\cap N\subseteq H\)，因此\(H\cap N\preceq H\)。进一步，我们可以证明\(W=H\cap N\unlhd H\)：即证\(\forall c\in H,w\in W\)，\(cwc^{-1}\in H\cap N\)。因为\(w,c\in H\)，因此\(cwc^{-1}\in H\)；因为\(w\in N\)，因此\(cwc^{-1}\in N\)，证毕。

对于自然同态\(\pi:G\to G/N\)，如果我们只把\(\pi\)的定义域限制在子群\(H\)上构成同态映射\(\pi'\)，那么我们容易描述像集\(\{hN\mid h\in H\}=HN/N\)，此时\(\pi'\)是到\(HN=\pi'(H)\)的满射。我们已经证明了，只要\(H\)是子群，\(\pi'(H)=HN\)也是一个子群。并且根据第一同构定理，\(G/\ker \pi'\cong HN\)，而显然\(\ker \pi'=H\cap N\)。于是我们就得到了第二同构定理：\(H\preceq G,N\unlhd G\implies H/(H\cap N)\cong HN/N\)。

第三同构定理

假设\(H,N\unlhd G\)，且\(N\subseteq H\)。由于\(H\)是正规子群，此时有自然同态\(\pi:G\to G/H\)。而根据分解定理，一定能写出自然同态\(\pi':G\to G/N\)，同态\(\bar f:G/N\to G/H\)使得\(\bar f\circ \pi'=\pi\)。根据第一同构定理，此时\((G/N)/\ker \bar f\cong G/H\)。而\(\ker \bar{f}=\{aN\mid \bar f(aN)=H\}=\{aN\mid \pi(a)=H\}\)\(=\{aN\mid a\in H\}\)。由于\(N\subseteq H\)，自然也有\(N\unlhd H\)，因此\(\ker \bar f=H/N\)。这样我们就得到了第三同构定理：\((G/N)/(H/N)\cong G/H\)。这就好像除法的约分一样。

群的同构定理为我们提供了一个更高的视角来看线性代数基本定理。向量空间中加法满足封闭性、结合律、单位元和逆元（以及交换律），因此向量空间可以看作向量加法群\((\R^n,+)\)（阿贝尔群）。现在对于两个向量空间\((\R^n,+)\)与\((\R^m,+)\)，我们可以构造一个映射\(f:\R^n\to \R^m\)，其中\(f(v)=Mv\)，\(M\)是一个\(n\times m\)的矩阵。可以验证，\(f\)是一个同态映射：\(f(v_1+v_2)=M(v_1+v_2)=Mv_1+Mv_2=f(v_1)+f(v_2)\)。于是根据第一同构定理，\(\R^n/\ker f\cong f(\R^n)\)。而\(\ker f\)恰好就是使得\(Mx=0\)的向量\(x\)，也即\(M\)的零空间；而\(f(\R^n)\)恰好是\(Mv\)的所有取值，也即\(M\)的列空间。现在我们看到，由矩阵乘法\(M\)给出的线性映射的清晰度恰好取决于矩阵的零空间，零空间的维数与列空间的维数总是互补的。这正是线性代数基本定理描述的事实。

群与商群间的一一对应

设\(N\unlhd G\)，那么总是存在自然同态\(\pi:G\to G/N\)。现在我们把所有满足\(N\preceq H\preceq G\)的子群\(H\)收集到一起形成\(S_1=\{H\mid N\preceq H\preceq G\}\)，由于\(\pi\)是同态，\(\pi(H)\)一定也是\(G/N\)的子群，而显然\(\pi(H)=H/N\)。令\(S_2=\{K\mid K\preceq G/N\}\)，我们通过\(\pi(H)\)构造了一个\(S_1\)到\(S_2\)的映射\(\psi:\psi(H)=H/N\)。这是well-defined的，因为\(H/N\)总是一个群，因此总是\(G/N\)的子群。

下面我们证明\(\psi\)是双射。先证单射：如果\(H_1/N=H_2/N\)，那么\(\forall h_1\in H_1\)，总存在\(h_2\in H_2\)使得\(h_1N=h_2N\)，这等价于\(h_1^{-1}h_2\in N\subseteq H_2\)，这只可能是\(h_1\in H_2\)。所以\(H_1\subseteq H_2\)。对称的，一定成立\(H_2\subseteq H_1\)。所以推出了\(H_1=H_2\)。再证满射：对于\(K\preceq G/N\)，因为\(\pi\)是自然同态，因此\(\pi^{-1}(K)\preceq G\)。而\(N\in K\)，因此\(N\subseteq \pi^{-1}(K)\)，因此\(\pi^{-1}(K)\in S_1\)。于是\(\psi(\pi^{-1}(K))=K\)，因此是满射。

这意味着，在\(G\)中所有包含正规子群\(N\)的所有子群\(H\)，与\(G\)由\(N\)产生的商群的所有子群，是一一对应的。这种对应关系就是由\(H\to H/N\)建立起来的。每一个满足\(N\preceq H\)的\(H\)，它一定包含了若干个完整的陪集\(aN\)，如果不是这样就与双射矛盾了。我们还容易进一步得到，\(H_1\preceq H_2\iff H_1/N\preceq H_2/N\)（左子群右子群，并且由Lagrange定理有\([H_2:H_1]=[H_2/N:H_1/N]\)，对于无限群通过构造双射也可以证明），\(H_1\unlhd H_2\iff H_1/N\unlhd H_2/N\)（左正规右正规），\(H_2/H_1\cong (H_2/N)/(H_1/N)\)（第三同构定理）。