洛谷题单指南-数学基础问题-P1069 [NOIP2009 普及组] 细胞分裂

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1069

题意解读：一个数s代表细胞经过一天分裂的个数，则经过t天后个数为s^t，要计算经过几天后能整除m1^m2，也就是s^t % m1^m2 == 0，有多个s，要计算天数最少就可以满足条件的。

解题思路：

直接求s^t % m1^m2显然不可取，会超出整数最大范围，高精度也不是好办法。

对于这种情况，可以分解质因数

以样例2为例：

m1 = 24, m2 = 1，m1^m2 = 2³*3¹

s = 30时，s^t = (2¹*3¹*5¹)^t = 2^t*3^t*5^t，要能整除m1^m2 = 2³*3¹, 2^t>=2³, 3^t>=3¹, t至少是3，也就是max(3/1, 1/1)

s = 12时，s^t = (2²*3¹)^t = 2^2t*3^t，要能整除m1^m2 = 2³*3¹，2^2t>=2³,3^t>=3¹, t至少是2，也就是max(⌈3/2⌉，1/1)，注意3/2上取整

再看样例1：

m1 = 2, m2 = 1, m1^m2 = 2¹

s = 3时，s^t = 3¹，由于m1^{m2 =} 2¹的质因数中有2，而s的质因数中没有2，所以s^t永远也不可能整除2¹

根据上面的分析，解法就比较明确了：

1、对m1^m2分解质因数，主要是对m1分解质因数，m2乘上各个质因数的指数，作为最终的指数即可

质因数用vector<int> pm保存，对应的指数用vector<int> px保存。

2、再对每一个s进行处理，同样对s分解质因数，这次用hash数组保存int ps[30005]，

因为m1最大30000，其质因数也不超过30000，因此s的质因数超过30000的不必要关心，只看跟m1一致的质因数即可。

ps[i] = cnt存的是s的质因数i的指数为cnt。

3、对m1^m2的每一个质因数，去s的质因数里找，

如果找不到，说明s^t永远也无法整除m1^m2；

如果能找到，就计算res = ⌈m1^m2的指数 / s的指数⌉ ，找res最大的就是改s经过多少天能整除m1^m2

4、对求得的多个res，取最小值

5、如果每个s都无法整除m1^m2，则输出-1

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, m1, m2;
int s;
vector<int> pm; //m1^m2的质因数
vector<int> px; //prims里每个质因数的指数
int ps[30005]; //s的质因数对应的指数
int ans = INT_MAX;

int main()
{
    cin >> n >> m1 >> m2;
    //对m1^m2分解质因数
    for(int i = 2; i * i <= m1; i++)
    {
        if(m1 % i == 0)
        {
            int cnt = 0;
            while(m1 % i == 0)
            {
                cnt++;
                m1 /= i;
            }
            pm.push_back(i);
            px.push_back(cnt * m2);
        }
    }
    if(m1 > 1) 
    {
        pm.push_back(m1);
        px.push_back(m2);
    }

    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> s;
        //对每一个s分解质因数,不考虑超过m1的质因数
        memset(ps, 0, sizeof(ps)); 
        for(int j = 2; j * j <= s && j <= 30000; j++)
        {
            if(s % j == 0)
            {
                int cnt = 0;
                while(s % j == 0)
                {
                    cnt++;
                    s /= j;
                }
                ps[j] = cnt;
            }
        }
        if(s > 1 && s <= 30000) ps[s] = 1;

        int res = 0; //如果m1=1，只需要0天就可以乘除1
        bool success = true;
        //检查m1的每个质因数
        //如果有质因数在s的质因数中不存在，表示不能满足要求
        //如果质因数都存在，计算m1的质因数指数 / s的中相同质因数指数,向上取整，最大的结果即需要的时间
        for(int j = 0; j < pm.size(); j++)
        {
            if(ps[pm[j]] == 0) //如果有m1的质因数在s中不存在
            {
                success = false;
                break; 
            }
            else
            {
                int low = ps[pm[j]];
                int high = px[j];
                int cnt = high / low;
                if(high % low != 0) cnt++;
                res = max(res, cnt); //找每个质因数要增长天数最大的一个
            }
        }
        if(success) ans = min(ans, res); //多个时间取最小值
    }

    if(ans == INT_MAX) cout << -1;
    else cout << ans << endl;
    return 0;
}