前言
正五边形的尺规作图方法在初中是个很经典的题目。
网络画板演示尺规作图
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" id="LTTP" onl oad='this.height=document.getElementById("LTTP").scrollWidth*0.563+"px"' src="https://www.netpad.net.cn/presentationEditor/presentationPlay.html#1029437" style="border: 1px solid #ccc" width="80%"></iframe>GeoGebra演示尺规作图
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" id="LTTP" onl oad='this.height=document.getElementById("LTTP").scrollWidth*0.563+"px"' src="https://ggb123.cn/calculator/ynxmkczs?embed" style="border: 1px solid #ccc" width="80%"></iframe>尺规作图原理说明
法1：首先计算一个函数值， \(\sin 18^{\circ}=\cos 72^{\circ}=\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}\)，具体过程详解如下：
由三倍角公式，\(sin3\theta=3sin\theta cos^2\theta-sin^3\theta\)，二倍角公式 \(cos2\theta=cos^2\theta-sin^2\theta\)，
又由 \(\sin54^{\circ}=\cos36^{\circ}\)，即 \(\sin3\times18^{\circ}=\cos2\times18^{\circ}\)
即得 \(3sin18^{\circ}cos^218^{\circ}-sin^318^{\circ}=cos^218^{\circ}-sin^218^{\circ}\).
整理得到，\(4sin^318^{\circ}-2sin^218^{\circ}-3sin18^{\circ}+1=0\)，
用 试商法 尝试分解\(x=1\)为其一个根，
故可以分解为\((sin18^{\circ}-1)(4sin^218^{\circ}+2sin18^{\circ}-1)=0\)，
\(sin18^{\circ}=1\)舍去，由\(4sin^218^{\circ}+2sin18^{\circ}-1=0\)，
得到\(sin18^{\circ}=\cfrac{-2\pm \sqrt{4+4\times4}}{2\times 4}=\cfrac{-1\pm \sqrt{5}}{4}\)，
舍去负值，得到\(sin18^{\circ}=\cos72^{\circ}=\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}\) .
其次、为说明按照上述的方法做出来的是正五边形，我们只要重点说明\(\angle DOE\)\(=\)\(72^{\circ}\)，也就是其余弦值为 \(\cos72^{\circ}\)\(=\)\(\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}\)即可 .
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" id="LTTP" onl oad='this.height=document.getElementById("LTTP").scrollWidth*0.563+"px"' src="https://www.netpad.net.cn/presentationEditor/presentationPlay.html#1029437" style="border: 1px solid #ccc" width="80%"></iframe>令上图中圆的半径为 \(r=2\)，则 \(OB=1\)， \(OD=2\)， 则 \(BD=\sqrt{5}\)，则 \(BC=\sqrt{5}\)，则 \(CO=\sqrt{5}-1\)，由勾股定理可知，\(CD\)\(=\)\(\sqrt{10-2\sqrt{5}}\)\(=\)\(DE\)，在\(\triangle DOE\) 中，\(OD=OE=2\)，\(DE\)\(=\)\(\sqrt{10-2\sqrt{5}}\)，则由余弦定理可知，
\(\cos\angle DOE=\cfrac{OD^2+OE^2-DE^2}{2\times OD\times OE}=\cfrac{4+4-(10-2\sqrt{5})}{2\times2\times2}=\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}\)
即 \(\angle DOE=72^{\circ}\)，故按照上述的方法做出来的是正五边形 .
标签：cos,circ,尺规,正五边形,sqrt,作图,cfrac,218,theta From： https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/18129973