数学入门——均值不等式 学习笔记
简化形式
若 \(a,b>0\)，则：
\[\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\le\sqrt[2]{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\le\sqrt[2]{\dfrac{a^2+b^2}{2}} \]理解方式：https://www.bilibili.com/video/BV1Nf4y1G7xV
基本形式
若 \(a,b>0\)，则：
\[\dfrac{n}{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dots+\dfrac{1}{x_n}}\le\sqrt[n]{x_1x_2\dots x_n}\le\dfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}\le\sqrt[2]{\dfrac{{x_1}^2+{x_2}^2+\dots+{x_n}^2}{n}} \]其中，
- \(H_n=\dfrac{n}{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dots+\dfrac{1}{x_n}}\).
- \(G_n=\sqrt[n]{x_1x_2\dots x_n}\).
- \(A_n=\dfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}\).
- \(Q_n=\sqrt[2]{\dfrac{{x_1}^2+{x_2}^2+\dots+{x_n}^2}{n}}\).
即 \(H_n\le G_n\le A_n\le Q_n\)；当且仅当 \(x_1=x_2=\dots=x_n\) 时，等号成立。
即，对于正实数：调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数。
简记为：「调几算方」。
常用变形
若 \(a,b>0\)，则：
\[a+b\ge2\sqrt{ab} \]\[ab\le\dfrac{(a+b)^2}{4} \]即「积定和最小，和定积最小」。
常见技巧
代换「\(1\)」，即表示 \(1=a+(1-a)=\dfrac{x}{x}\) 一类的形式，然后将原式乘上这个「\(1\)」，化简计算。
代换「\(0\)」，即表示 \(0=a-a\) 一类的形式，然后将原式减去这个「\(0\)」，化简计算。
和积共存
一、化简、凑形式
因式分解或公式一类。
二、将原式转化为关于要求的式子
若正实数 \(x\)、\(y\) 满足 \(x^2+y^2+xy=1\)，求 \(x+y\) 的最大值。
化简，\(x^2+y^2+2xy=1+xy\)，\((x+y)^2=1+xy\le1+\dfrac{(x+y)^2}{4}\)。
即 \(\dfrac{3}{4}(x+y)^2\le1\)，\(x+y\le\dfrac{2\sqrt3}{3}\)。
三、换元
对于根号下的式子，一般带上根号设未知数。
若正数 \(x\)、\(y\) 满足 \(2x+y+6=xy\)，求 \(xy\) 的最小值。
化简，\(xy=2x+y+6\ge2\sqrt{2xy}+6=2\sqrt2\sqrt{xy}+6\)。
设 \(y=\sqrt{xy}\)，则 \(t^2\ge2\sqrt2t+6\)，即 \(t^2-2\sqrt2t-6\ge0\)。
解得 \(t\ge3\sqrt2\)，\(xy=t^2\ge18\)。
四、轮换对称
轮换对称的形式，即将 \(x\)、\(y\) 互换，形式不变。
轮换对称的形式，一般取最大、最小值时是 \(x=y\) 的形式。
例题
一、已知 \(a,b>0\) 且 \(ab=1\)，求 \(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{8}{a+b}\) 的最小值。
化简，\(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{8}{a+b}=\dfrac{a+b}{2ab}+\dfrac{8}{a+b}=\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{8}{a+b}\ge4\)。
取等条件为 \(\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{8}{a+b}\)，即 \((a+b)^2=16\)，可以取到。
二、已知 \(a,x>0\) 且 \(a+\dfrac{x}{a+1}\) 的最小值是 \(5\)，求 \(x\)。
化简，\(a+\dfrac{x}{a+1}=(a+1)+\dfrac{x}{a+1}-1\ge2\sqrt{x}-1=5\)，则 \(x=9\)。
取等条件为 \(a+1=\dfrac{x}{a+1}\)，即 \((a+1)^2=x=9\)，可以取到。
三、已知 \(x,y\in\mathbb R\) 且 \(5x^2y^2+y^4=1\)，求 \(x^2+y^2\) 的最小值。
化简，\(1=y^2(5x^2+y^2)=\dfrac{1}{4}\cdot4y^2(5x^2+y^2)\le\dfrac{(5x^2+5y^2)^2}{16}\)。
即 \((x^2+y^2)^2\ge\dfrac{16}{25}\)，则 \(x^2+y^2\ge\dfrac{4}{5}\)。
四、已知 \(a,b,c\in\mathbb R^+\)，证明：\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\)。
整理：
\[\begin{aligned} \dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\\ (\dfrac{a^2}{b}+b)+(\dfrac{b^2}{c}+c)+(\dfrac{c^2}{a}+a)\ge 2a+2b+2c\\ \dfrac{a^2}{b}+b\ge2a,\dfrac{b^2}{c}+c\ge2b,\dfrac{c^2}{a}+a\ge2c\space\square. \end{aligned} \]当且仅当 \(a=b=c\) 时，取到等号。
五、已知 \(a,b,c\in\mathbb R^+\) 且不全相等，证明：\(a+b+c>\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)。
整理：
\[\begin{aligned} a+b\ge2\sqrt{ab},b+c\ge2\sqrt{bc},c+a\ge2\sqrt{ca}\\ 2a+2b+2c\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}\\ a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \end{aligned} \]因为 \(a,b,c\) 不全相等，则取不到等号。\(\square.\)
六、已知 \(a,b,c\in\mathbb R^+\)，证明：\(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2c}\ge\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\)。
整理：
\[\begin{aligned} \dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\le\dfrac{a+b}{2},\dfrac{4}{a+b}\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\\ \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2c}\space\square. \end{aligned} \]当且仅当 \(a=b=c\) 时，取到等号。
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