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本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用
本专栏：数值分析复习 的前置知识主要有：数学分析、高等代数、泛函分析
数值积分法
基本概念
定义：数值积分公式
数值积分法是指逼近
I
(
f
)
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
I(f)=\int_a^bf(x)\mathrm{d}x
I(f)=∫abf(x)dx的任意数值方法；主要方法是构造
I
n
(
f
)
=
∑
i
=
0
n
A
i
f
(
x
i
)
I_n(f)=\sum\limits_{i=0}^nA_if(x_i)
In(f)=i=0∑nAif(xi)使得
I
(
f
)
≈
I
n
(
f
)
I(f)\approx I_n(f)
I(f)≈In(f)；称其为数值积分公式，其截断误差为
E
n
(
f
)
=
I
(
f
)
−
I
n
(
f
)
E_n(f)=I(f)-I_n(f)
En(f)=I(f)−In(f)
定义：代数精度
设
m
∈
N
+
m\in\mathbb{N}^+
m∈N+，若
E
n
(
f
)
E_n(f)
En(f) 对
f
(
x
)
=
1
,
x
,
x
2
,
…
,
x
m
f(x)=1,x,x^2,\dots,x^m
f(x)=1,x,x2,…,xm 都为 0，但对
f
(
x
)
=
x
m
+
1
f(x)=x^{m+1}
f(x)=xm+1 不为0，则称数值积分公式的代数精度为m
注：代数精度是衡量数值积分公式优劣的指标，节点相同的数值积分公式，代数精度越高越优。
插值型数值积分
定义：插值型数值积分
已知
I
n
(
f
)
I_n(f)
In(f) 给出的指标n，若对
∀
f
∈
P
n
,
E
n
(
f
)
=
0
\forall f\in\mathbb{P}_n,E_n(f)=0
∀f∈Pn,En(f)=0，则称数值积分为插值型的
命题：下列等价
（1） I n ( f ) I_n(f) In(f) 为插值型的
（2） I n ( f ) I_n(f) In(f) 可由 f ( x ) f(x) f(x) 基于节点 x 0 , … , x n x_0,\dots,x_n x0,…,xn 的 n n n 次插值多项式进行积分得到
命题
∀
k
=
1
,
2
,
…
,
n
+
1
\forall k=1,2,\dots,n+1
∀k=1,2,…,n+1，
I
n
(
f
)
I_n(f)
In(f)的代数精度为
n
+
k
n+k
n+k等价于
- I n ( f ) I_n(f) In(f)为插值型的
-
ω
n
+
1
(
x
)
=
∏
i
=
0
n
(
x
−
x
i
)
\omega_{n+1}(x)=\prod\limits_{i=0}^n(x-x_i)
ωn+1(x)=i=0∏n(x−xi) 与
P
k
−
1
\mathbb{P}_{k-1}
Pk−1 正交：即
∀ P ( x ) ∈ P k − 1 , ∫ a b ω n + 1 ( x ) P ( x ) d x = 0 \forall P(x)\in\mathbb{P}_{k-1},\int_a^b\omega_{n+1}(x)P(x)\mathrm{d}x=0 ∀P(x)∈Pk−1,∫abωn+1(x)P(x)dx=0
证明思路
必要性：（1）容易得到，（2）由于
ω
n
+
1
(
x
)
P
(
x
)
∈
P
n
+
k
\omega_{n+1}(x)P(x)\in\mathbb{P}_{n+k}
ωn+1(x)P(x)∈Pn+k，则
I
(
ω
n
+
1
(
x
)
P
(
x
)
)
=
I
n
(
ω
n
+
1
(
x
)
P
(
x
)
)
=
0
I(\omega_{n+1}(x)P(x))=I_n(\omega_{n+1}(x)P(x))=0
I(ωn+1(x)P(x))=In(ωn+1(x)P(x))=0
充分性：由于
P
n
+
k
=
ω
n
+
1
(
x
)
P
k
−
1
+
P
n
\mathbb{P}_{n+k}=\omega_{n+1}(x)\mathbb{P}_{k-1}+\mathbb{P}_n
Pn+k=ωn+1(x)Pk−1+Pn，即
∀
g
(
x
)
∈
P
n
+
k
,
g
(
x
)
=
ω
n
+
1
(
x
)
g
1
(
x
)
+
g
2
(
x
)
\forall g(x)\in\mathbb{P}_{n+k},g(x)=\omega_{n+1}(x)g_1(x)+g_2(x)
∀g(x)∈Pn+k,g(x)=ωn+1(x)g1(x)+g2(x)其中
g
1
∈
P
k
−
1
,
g
2
∈
P
n
g_1\in\mathbb{P}_{k-1},g_2\in\mathbb{P}_n
g1∈Pk−1,g2∈Pn，则
I
(
g
)
=
I
(
g
2
)
=
I
n
(
g
2
)
=
I
n
(
g
)
I(g)=I(g_2)=I_n(g_2)=I_n(g)
I(g)=I(g2)=In(g2)=In(g)
标签：mathbb,数值积分,复习,插值,Pn,概述,代数,omega From： https://blog.csdn.net/2301_76884115/article/details/137157905参考书籍：《数值分析》李庆扬 王能超 易大义 编