【深度解析】计算机组成原理：8位二进制数的原码、反码与补码表示及溢出处理实例

#自用笔记

引言

在计算机系统中，数值的内部表示是其基础组成原理的核心部分。尤其对于有符号整数而言，原码、反码和补码的运用极大地简化了运算过程，并有效地解决了负数表示问题。本文将深入探讨8位二进制数下这三种编码方式的规则，同时通过具体示例分析溢出现象及其解决办法。

一、8位二进制数表示范围

一个8位二进制数能够表示的十进制数范围是从-128到+127。当数值超出这个范围时，会发生溢出，此时通常需要采用至少16位的二进制数来进行精确表达。

0的补码表示

在二进制中，0的补码表示为0000 0000。

-128的补码表示

最小的负数-128在8位补码表示中的形式为1000 0000。

二、有符号数的补码表示法

计算机存储系统普遍采用补码形式来表示有符号数。其中：

原码：最高位为符号位，1代表负数，0代表正数；其余各位表示数值本身的绝对值。
反码：负数的反码是除符号位外，其余各位按位取反得到；正数的反码与原码相同。
补码：负数的补码是其反码基础上加1；正数的补码与其原码、反码相同。

公式总结：

负数补码 = 反码 + 1
正整数的原码、反码、补码一致

三、实例分析

示例1：将十进制数-5转换为8位二进制补码表示。

要将十进制数-5转换为8位二进制补码表示，我们首先确定8位二进制数中最高位是符号位（0代表正，1代表负），然后将其余位用于表示该数的绝对值。

对于-5，由于是负数，我们按照以下步骤操作：

将-5转换为其绝对值的二进制表示（无符号数）。

添加一个最高位作为符号位，设为1。

首先，-5的绝对值是5，在二进制中表示为 0000 0101。

现在，因为我们要表示的是负数，所以需要将它转换成补码表示：

取5的二进制反码：对除了最高位以外的所有位取反，得到 1111 1010。

反码加1得到补码：1111 1010 + 0000 0001 = 1111 1011。

因此，十进制数-5在8位二进制补码表示中为 1111 1011。

示例2：演示一个超过8位二进制所能表示的最大正数时，如何发生溢出，并解释为什么需要扩展到16位表示。

在8位二进制中，无符号数能够表示的最大正整数是 $2^{7}=128$ ，而有符号数（采用补码表示）的最大正整数是 $2^{7}-1=127$ 。下面以一个具体的加法运算为例来演示溢出：

假设有两个8位二进制数相加，分别为 11111110（即126，十进制）和 00000001（即1，十进制）。
直接相加得到：
  11111110
+ 00000001
————————————
  11111111
结果是 11111111，在无符号表示中，这个值是 255，而在有符号补码表示中，它是 $-2^{7}=-128$ 。然而，根据题目意图，我们期待的结果应该是 126+1=127，并没有超过8位有符号数的最大值。
若尝试表示超过 127 的正数，例如 128 ，在8位二进制补码中无法直接表示。理论上 128 的二进制补码是：

128128 的原码：01000000（注意第一位不再是符号位，因为这里我们是在寻找一个比 127127 大的数）
由于 128128 是正数，所以其反码和补码与原码相同。
但是，在8位二进制系统中，最高位（即符号位）已经被固定用来表示负数，因此不能用来表示更大的正数。这时，如果我们强行用8位来表示 128128，将会导致溢出。正常情况下，计算机硬件会在加法操作时自动检测这种溢出，并可能采取相应的异常处理措施。

为什么需要扩展到16位表示？

为了能够正确表示超过8位所能容纳的数值范围（无论是正数还是负数），我们需要更多的位数来存储这些数值。扩展到16位意味着可以表示 $2^{15}$ 到 $2^{15}-1$ 范围内的有符号整数，或者是 0 到 $2^{16}-1$ 范围内的无符号整数。这样就能避免因数值过大而导致的溢出问题。在实际应用中，随着需求的变化，甚至会使用32位、64位乃至更大位宽的数据类型来存储数值。

溢出问题及处理

当进行加减运算时，若结果超出8位二进制数的有效表示范围，则会发生溢出，如（-34-27）。设计高效的算法和硬件结构来检测和处理溢出是计算机组成的重要课题。

欢迎大家尝试自己动手将更多十进制数转换为二进制原码、反码和补码，并针对特定数值的溢出情况进行模拟计算。在评论区分享您的见解与实践体会，共同探讨这一领域的深层次知识！

五、总结

正数标志位为0，负数为1；
8位二进制数能表示的十进制数范围为-128到+127；
如果数小于-128或大于127，则会溢出，溢出只能用两个字节 16位二进制数表示了；
0的补码为0000 0000，-128的补码为1000 0000；
计算机中有符号数用补码表示；
原码首位为标志位，1表示负数，0表示正数；
反码=原码的标志位不变，其他取反；
负数的补码=负数的反码+1；
正整数的原码、反码、补码相同；
当进行加减运算时，若结果超出8位二进制数的有效表示范围，则会发生溢出；

标签：表示,反码,二进制,补码,负数,原码
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