单摆法测重力加速度实验报告
李俊辰 PB23000176 2024年3月27日
1 摘要
本实验通过单摆法，进行一系列数据处理和运算，来测量本地的重力加速度 \(g\)。
- 了解单摆摆长周期的关系，确定实验方式。
- 测量摆长和周期，计算重力加速度和其不确定度。
- 测量多组摆长，通过 \(l\) 和 \(T^2\) 的关系进行拟合，进而确定重力加速度。
- 分析基本误差的来源，提出进行改进的方法。
2 背景介绍
单摆实验是一个经典实验，许多著名的物理学家都对单摆实验进行过细致的研究。伽利略指出摆的周期与摆长的平方根成正比，而与摆的质量和材料无关。
- 重力加速度݃ \(g\) 是指一个物体受重力作用时具有的加速度。
- 重力加速度݃ 与物体所处的纬度、海拔高度及附近的矿藏分布等因素有关。
- 精确测量重力加速度，研究重力加速度的分布，在勘查地下资源、提高导弹和卫星精度等应用领域具有十分重要的意义。
3 实验方法
3.1 实验器材
钢卷尺、游标卡尺、千分尺、电子秒表、单摆。
单摆摆长可调上限约为 \(100cm\)。
3.2 实验原理
单摆的周期有公式：
\[T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}(1+\frac{d^2}{20l^2}-\frac{m_0}{12m}(1+\frac{d}{2l}+\frac{m_0}{m}+\frac{\rho_0}{2\rho}+\frac{\theta^2}{16})} \]该公式与摆线长度、质量，摆球直径、密度，空气密度，摆角等变量有关，较为复杂。
该实验要求不确定度优于 \(1\%\)，而摆球形状、质量等因素，在摆角较小（\(\theta < 5^\circ\)）的情况下对 \(T\) 的影响一般小于 \(10^{-3}\)，因此可以忽略修正项，使用一级近似公式：
通过带入 \(l\) 和 \(T\)，解得重力加速度 \(g\)。
3.3 实验步骤
- 按照实验要求组装好实验仪器，将电子秒表归零。
- 使摆线取合适长度，重复 \(6\) 次测量单摆摆长。
- 使在同一平面内摆动，保持摆角较小（\(\theta < 5^\circ\)）。
- 重复 \(6\) 次测量单摆周期，每次测量时使单摆摆动 \(50\) 个周期，测量摆动时间。
- 再选取 \(6\) 个合适的摆长长度，重复 2 至 4 步。
- 整理数据，计算重力加速度与不确定度。
- 整理仪器。
4. 结果和分析
4.1
通过对摆长和周期的 6 次重复测量计算当地重力加速度及其标准不确定度
4.1.1 测量数据
| 序号 | 摆线长度 \(l/cm\) | 摆球直径 \(d/ mm\) | 50 次摆动时间 \(t/s\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 70.12 | 21.10 | 84.56 |
| 2 | 69.97 | 21.15 | 84.14 |
| 3 | 69.91 | 21.55 | 84.22 |
| 4 | 70.05 | 21.38 | 84.05 |
| 5 | 70.11 | 21.25 | 84.78 |
| 6 | 70.59 | 21.17 | 84.36 |
4.1.2 数据处理
摆线长度平均值：
\[\overline{l}=\frac{70.12+69.97+69.91+70.05+70.11+70.59}{6}cm=70.13cm \]摆线长度标准差的平方：
\[\sigma_l^2=\frac{(70.12-70.13)^2+(69.97-70.13)^2+(69.91-70.13)^2+(70.05-70.13)^2+(70.11-70.13)^2+(70.19-70.13)^2}{6-1}cm^2=0.0169cm^2 \]可得，标准不确定度：
\[u_l=\sqrt{\frac{\sigma_l^2}{6}}cm=0.0531cm \]摆球的平均直径：
\[\overline{d}=\frac{21.10+21.15+21.55+21.38+21.25+21.17}{6}mm=21.27mm \]摆球直径的标准差的平方：
\[\sigma_d^2=\frac{(21.10-21.27)^2+(21.15-21.27)^2+(21.55-21.27)^2+(21.38-21.27)^2+(21.25-21.27)^2+(21.17-21.27)^2}{6-1}mm^2=0.0288mm^2 \]可得，标准不确定度：
\[u_d=\sqrt{\frac{\sigma_d^2}{6}}mm=0.0693mm \]摆长平均值：
\[\overline{L}=\overline{l}+\frac{\overline{d}}{2}=71.19cm \]合成标准不确定度：
\[u_L=\sqrt{u_l^2+(\frac{u_d}{2})^2}=0.0634cm \]摆动时间平均值：
\[\overline{t}=\frac{84.56+84.14+84.22+84.05+84.78+84.36}{6}s=84.35s \]摆动时间标准差的平方：
\[\sigma_t=\frac{(84.56-84.35)^2+(84.14-84.35)^2+(84.22-84.35)^2+(84.05-84.35)^2+(84.78-84.35)^2+(84.36-84.35)^2}{6-1}s^2=0.0760s^2 \]结合人开表、停表的误差 \(\Delta_{\text{人}}=0.2s\)，可得周期 \(T\) 的标准不确定度：
\[u_T=\frac{1}{50}\sqrt{\frac{\sigma_t^2}{6}+\Delta_{\text{人}}^2}s=0.0043s \]合成可得 \(g\) 的标准不确定度：
\[\frac{u_g}{\overline{g}}=\sqrt{(\frac{u_L}{\overline{L}})^2+2^2\dot (\frac{u_T}{\overline{T}})^2}=0.0052 \]又有：
\[\overline{g}=4\pi^2\frac{\overline{L}}{\overline{T}^2}m/s^2=9.875m/s^2 \]那么：
\[u_g=0.0052\overline{g}=0.0553m/s^2 \]所以最终结果为，当地重力加速度为 \(g=9.875m/s^2\)，其不确定度为 \(0.0553m/s^2\)
也可知 \(\Delta_g/g<1\%\)，符合实验要求。
4.2
测量多个摆长与周期，用最小二乘法拟合。
摆长取摆线长度与摆球半径之和。
4.2.1 测量数据
| 序号 | 摆长 \(L/cm\) | 50 次摆动时间 \(t/s\) |
|---|---|---|
| 1 | 70.12 | 84.56 |
| 2 | 62.25 | 77.87 |
| 3 | 77.57 | 89.02 |
| 4 | 50.36 | 70.13 |
| 5 | 55.68 | 73.53 |
| 6 | 67.11 | 80.89 |
4.2.2 数据分析
摆长平均值：
\[\overline{L}=\frac{70.12+62.25+77.57+50.36+55.68+67.11}{6}cm=63.85cm \]周期平方的平均值：
\[\overline{T}=\frac{84.56^2+77.87^2+89.02^2+70.13^2+73.53^2+80.89^2}{6\times 2500}s^2=2.53s^2 \]根据最小二乘法公式，可以计算出 \(l-T^2\) 图像的斜率：
\[k=\frac{\sum LT^2-6\overline{L}\overline{T^2}}{\sum T^4-6\overline{T^2}^2}=0.2503 m/s^2 \]由此，可最终求出重力加速度：
\[g=4\pi^2k=9.881m/s^2 \]5 总结与讨论
- 实践了对游标卡尺、电子秒表等工具的使用。
- 实践了标准不确定度、不确定度合成的计算。
- 学会了应用误差均分原则选用适当的仪器和设计方法。