特征选择
特征选择问题
特征选择顾名思义就是对特征进行选择性截取，剔除掉冗余特征。这样能够减少决策树的复杂度。
比如在上面两图中，左图通过年龄来对样本进行分类，而右图通过工作对特征进行分类，二者究竟孰好孰坏，这是需要进行比较的。一个非常直接的想法就是仅用选择的特征去训练模型，然后得出用各个特征的准确率。但是显然这样做过于繁琐与复杂，通常特征选择的准则是信息增益或信息增益比。
信息增益与信息增益比
信息增益描述了在得知已知信息(特征X)的情况下能够使得类别Y的信息的不确定性减少的程度。比如说，在不知道任何样本的特征信息情况下，我们知道Y的不确定性程度为0.7，现在你知道了样本的某个特征\(x_i\)，那么假设Y的不确定性程度减少为0.5，那么所得的信息增益即为0.2，这表示特征x对减少Y的不确定性程度的贡献。
在上面的例子中，我们提到了重要的两点，第一个是Y的不确定性程度，第二个是Y在X为某个特征时的不确定性程度。那么该怎么计算它们？
熵
熵是反应随机变量不确定性的度量。假设随机变量\(X\)的概率分布为
\[P(X=x_i)=p_i, i = 1,2,\cdots,n \]那么其熵的定义为
\[H(X)=H(P) = -\sum_{i=1}^n p_i \mathrm{log}p_i \]那么当随机变量\(X\)只能取0, 1时，其熵为
\[H(P) = -p\mathrm{log}p-(1-p)\mathrm{log}(1-p) \]显然当\(p\)为0时或1时熵恰好为0，此时表明熵最小，说明随机变量\(X\)很稳定，若\(p\)为0.5，则熵对应最大，表明随机变量\(X\)很不确定，因为它取0或取1的概率相等，具有很大的不确定性。
条件熵
条件熵表示在已知随机变量\(X\)的条件下随机变量\(Y\)的不确定性。它通过下式定义
\[H(Y|X) = \sum_{i=1}^np_iH(Y|X=x_i) \]其中\(p_i=P(X=x_i)\)
信息增益
信息增益表示特征\(X\)给定的情况下对\(Y\)的不确定性减少的程度，因此需要知道原本\(Y\)的熵和给定\(X\)后的熵，由下式给出
\[g(Y,X)=g(D,A)=H(D)-H(D|A) \]其中
\[H(D)=-\sum_{k=1}^K\frac{|C_k|}{|D|}\mathrm{log}\frac{C_k}{D} \]\[H(D|A)=\sum_{i=1}^n\frac{|D_i|}{|D|}H(D_i|A=a_i)=-\sum_{i=1}^n\frac{|D_i|}{|D|}\sum_{k=1}^K\frac{|D_{ik}|}{|D_i|}\mathrm{log}\frac{|D_{ik}|}{|D_i|} \]其中\(D\)表示训练数据集，\(A\)表示所选特征。
通过上面的公式我们就可以计算出每个特征的信息增益啦，也就可以其进行排序，优先选择大的。