数学分析基本定义定理总结

数学分析中的重要概念与定理

一、实数集完备性基本定理

1. 实数

   1. 稠密性
   2. Archimedes性

2. 实数集基本定理

   1. 确界原理：非空有界数集有上/下界则必有上/下确界

   2. 上确界/下确界

   3. 单调有界定理：单调有界数列必有极限

   4. 区间套定理：实数系中存在唯一一点包含在闭区间套的所有闭区间之中

      1. 存在性可以由单调有界定理以及闭区间套的性质证得
      2. 闭区间套

   5. 有限覆盖定理：一定能从覆盖一个闭区间的无限开覆盖中找出有限个开区间来覆盖这个闭区间.

      1. 利用反证法、二分法和闭区间套定理证明
      2. 聚点定理：有限无界点集至少存在一个聚点
         1. 聚点
         2. 利用二分法、闭区间套定理证明
         3. 推论：致密性定理（有界数列必有收敛子列）

   6. Cauchy收敛准则

      1. 数列版本

         1. 函数版本

         2. 必要性显然；充分性：先证明数列有界，再利用致密性定理证明必有收敛子列

二、极限

（一）数列极限

1. 无穷小/无穷大数列；无界数列
2. 任何数列都有单调子列
   1. 若数列总有最大项；
   2. 若数列没有最大项
3. 上下极限：有界数列（点列）的最大/小聚点

（二）函数极限

1. 基本函数
   1. Dirichlet函数
   2. Riemann函数
2. 归结原理（Heine定理）：函数在某点处极限存在当且仅当对于任意以此点为极限的收敛数列，函数数列的极限均存在且相等.
3. 无穷小量/无穷大量

三、一元函数的连续性

1. 间断点的分类
   1. 单调函数若有间断点则必是跳跃间断点
   2. Dirichlet函数每个点处都不连续
   3. Rimann函数在任何无理点处连续，任何有理点处不连续
2. 闭区间上连续函数的基本性质
   1. 最值定理
   2. 介值性定理
   3. Cantor定理
      1. 一致连续

四、一元微分学

1. 极值
   1. 极值第一充分条件
   2. 极值第二充分条件
   3. 极值第三充分条件
2. Fermat定理：若函数在某点处可导且这个点是极值点, 则函数在此点的导数是零.
3. Leibniz公式
4. 可微
5. 微分形式不变性
6. 导函数极限定理
7. 微分中值定理
   1. Rolle 中值定理
      1. 利用最值定理、Fermat定理证明
   2. Lagrange 中值定理
      1. K值法构造辅助函数，利用 Rolle 中值定理证明
   3. Cauchy 中值定理
      1. 构造辅助函数利用Rolle中值定理证明
8. Darboux定理（导函数的介值定理）
   1. 利用最值定理和Fermat定理证明
9. L'Hospital法则
10. Taylor定理
11. 凸函数
12. Jensen不等式
13. 拐点

五、一元积分学

1. 定积分

   1. 分割
   2. Riemann和
   3. Riemann可积

2. Newton-Leibniz公式

   1. 取分割、Lagrange中值定理、一致连续性定理

3. 可积条件

   1. 必要条件
      1. 有界
      2. 存在无穷多个处处稠密的连续点
   2. 充分条件
      1. 闭区间上连续
      2. 在闭区间上只有有限个间断点且有界
      3. 单调
      4. 有界且不连续点集只有有限多个聚点
   3. 充要条件
      1. 第一充要条件：上积分等于下积分
      2. 第二充要条件：存在一个分割的上和与下和之差可以任意小
      3. 第三充要条件：存在一个分割，其振幅大于等于给定正数的区间总长可以任意小

4. Riemann函数可积

5. 积分中值定理

   1. 第一中值定理
      1. 利用最值定理和介值性定理证明
      2. 推广的第一中值定理
   2. 第二中值定理
      1. 推论

6. 微积分基本定理（原函数存在定理）: 若 \(f\in C[a,b]\), 则 \(\Phi(x)=\int_a^xf(t)\mathrm dt\) 在 \([a,b]\) 上处处可导, 且 \(\Phi'(x)=f(x)\).

   1. 利用导函数的定义、积分第一中值定理以及函数的连续性证明.

7. Wallis公式

8. Schwarz不等式

9. Minkowski不等式

10. 弧长公式 \(\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\mathrm dt\).

11. 反常积分

    1. 无穷积分
    2. 瑕积分
    3. 判别法
       1. 比较判别法
       2. Dirichlet判别法
          1. 一个有界，一个单调趋于零
          2. 利用积分第二中值定理证明
       3. Abel判别法
          1. 一个收敛，一个单调有界
          2. 利用积分第二中值定理或Dirichlet判别法证明

六、级数论

1. 数项级数
   1. 正项级数
      1. Cauchy判别法比D'Alembert更有效 \(\underline{\lim}\limits_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}\le\underline{\lim}\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}\le\overline{\lim}\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}\le\overline{\lim}\limits_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}\).
      2. 积分判别法
         1. 非负减函数，正项级数与无穷限反常积分同敛散
      3. Raabe判别法 \(\lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)\)
   2. 一般项级数
      1. 交错级数
         1. Leibniz判别法
      2. 绝对收敛的级数任意重排后仍绝对收敛且具有相同的和数
      3. Dirichlet判别法
         1. 利用Abel引理证明
         2. 一个部分和有界，一个单调递减趋于零
      4. Abel判别法
         1. 利用Abel引理证明
         2. 一个单调有界，一个级数收敛
2. 函数项级数
   1. 一致收敛
      1. 定义
      2. Cauchy准则
      3. 判别法
         1. Weierstrass判别法
         2. Abel判别法
            1. 一个一致收敛，一个单调一致有界
         3. Dirichlet判别法
            1. 一个部分和函数列一致有界，一个单调一致收敛于零
   2. 一致收敛函数列与函数项级数的性质
   3. 幂级数
   4. Euler公式/de Moivre公式
   5. Fourier级数
      1. 收敛定理

七、多元函数微分学

1. 开集/闭集
2. 重极限与累次极限的关系
   1. 两个累次极限存在且相等 \(\nRightarrow\) 重极限存在 \(f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\)
   2. 两个累次极限存在且不相等 $\Rightarrow $ 重极限不存在
   3. 两个累次极限不存在 \(\nRightarrow\) 重极限不存在 \(f=x\sin\frac1y+y\sin\frac1x\)
   4. 如果重极限与累次极限都存在, 则它们必相等
3. 可微/全微分
4. 连续、偏导数存在、可微、方向导数存在之间的关系
5. 方向导数
6. 梯度
7. 极值充分条件
   1. Hesse矩阵
8. 隐函数存在唯一性定理
   1. 函数连续；初始条件；关于 \(y\) 的偏导数存在且连续且在初始点处不为零
9. 条件极值
   1. Lagrange乘数法

八、含参变量积分

1. 含参量反常积分
   1. 一致收敛
   2. Weierstarss判别法
   3. Dirichlet判别法
      1. 一个函数的含参量正常积分关于一个变量一致有界；另一个函数关于另一个变量单调且一致收敛于零
   4. Abel判别法
      1. 一个含参量反常积分关于变量一致收敛；另一个函数关于另一个变量单调且一致有界
   5. Euler积分

九、多元函数积分学

1. 重积分
   1. 二重积分
   2. 三重积分
2. 曲线积分
   1. 第一型曲线积分
      1. 对曲线做分割按弧长求和
   2. 第二型曲线积分
      1. 向量函数沿有向曲线的曲线积分
   3. Green公式
3. 曲面积分
   1. 第一型曲面积分
   2. 第二型曲面积分
   3. Gauss公式
   4. Stokes公式