第九章总练习题

赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨

大学初期攻读化学，在魏尔斯特拉斯等人的建议下改攻读数学。施瓦茨在哈雷、哥廷根和柏林工作，范围涉及函数论、微分几何和变分学。以他为名的有柯西-施瓦茨不等式、施瓦茨导数、施瓦茨-克里斯托费尔映射、施瓦茨反射原理和施瓦茨引理。

 施瓦茨，即德国数学家H.A.施瓦茨，1843.1.25出生，生于西里西亚（Sukesia）的赫姆斯多夫（Hermsdorf），卒于柏林。1860年进入柏林工业学院学习化学，后来受库默尔和魏尔斯特拉斯影响转而攻读数学。1864年毕业，并获哲学博士学位。1867年在哈雷大学任教授，1869年任苏黎世大学教授，1875年到哥廷根大学数学系任教。1892年接替他的老师魏尔斯特拉斯在柏林大学的教授职务。任教期间当选为普鲁士科学院和巴伐利亚科学院院士。

施瓦茨的数学成就，主要涉及分析学、微分方程、几何学等领域。

分析学

1869年，施瓦茨和克里斯托弗发表了关于保形映射的某些特殊结果的定理。这个映射被称为施瓦茨—克里斯托弗变换，1870年，施瓦茨与诺伊曼为黎曼映射定理寻求一个更完美的证明时证明了，一个单连通平面区域可以映射到一个圆，并强调了这一保形映射的重要性。1873年，施瓦茨首次严格证明了二阶偏导中两个混合偏导数存在及存在的条件。在《纪念文集》（Festschrift,1885）中论证了所谓范数的“施瓦茨不等式”，该式已成为函数论的重要工具。

微分方程

1873年，施瓦茨在研究 二阶线性微分方程的解的结构时，引入了微分方程的单值群的概念，这是一类线性变换群。这一工作为自守函数的研究创造了条件。1870年，施瓦茨在魏尔斯特拉斯提示下，就边界曲线为普遍假设的情形，采用所谓交替法，第一个证明了二维狄利克雷问题解的存在性定理。

几何学

1884年，施瓦茨对三维空间的等周问题，提供了严密的解法。1880年，施瓦茨在给埃尔米特的信中指出，当时教科书中的曲面面积概念有问题，并举出一个著名的例子。另外，施瓦茨与魏尔斯特拉斯一道深入地研究了微分几何中极小曲面问题，他们认为这个问题与复变函数、变分学、拓扑学都有很深的关系。

施瓦茨是继克罗内克、库默尔和魏尔斯特拉斯等人之后德国数学界的领导人之一，对20世纪初期的数学发展做出了重要贡献。

闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864－1909）出生于俄国的 Alexotas (现在变成立陶宛的 Kaunas)。父亲是一个成功的犹太商人，但是当时的俄国政府迫害犹太人，所以当闵可夫斯基八岁时，父亲就带全家搬到普鲁士的 Konigsberg (哥尼斯堡)定居，和另一位数学家希尔伯特（Hilbert ）的家仅一河之隔。闵可夫斯基有两个哥哥，他是幺弟。大哥 Max 在俄国时因为种族歧视，不能进学校读书，后来也一直没有受正规教育，长大后与他父亲一起经商，继承父业成为一个成功的商人。二哥就是发现胰岛素和糖尿病关联的著名医学家 Oscar Minkowski，人称“胰岛素之父”。闵可夫斯基本人则因数学才能出众，早有神童之名，后来更是优秀的数学家。他们兄弟三人都十分杰出，在Konigsberg曾经轰动一时。

1873年，闵可夫斯基进入艾尔斯塔特预科学校读书。他思考敏捷，记忆力极佳，很快就表现出数学天赋。不仅如此，闵可夫斯基熟读莎士比亚、席勒和歌德的作品，歌德的《浮士德》几乎可以全文背诵。这和大鸡慢啼的Hilbert不同。八年的预科学校课程，闵可夫斯基只花了五年半就完成学业。因此，虽然闵可夫斯基比 Hilbert 小两岁，却早一年毕业。当时德国大学可以自由选择任何大学注册。闵可夫斯基先进入当地的大学，不久就转到柏林大学，三个学期后又回到 Konigsberg 大学。在大学期间，他曾先后受教于 Helmholtz、 Hurwitz、Lindeman 、克罗内克尔（Kronecker）、库谟（Kummer）、Weber、魏尔斯特拉斯（Weierstrass） 和 Kirchhoff (克希荷夫)等人。在 Konigsberg 大学 ，闵可夫斯基和Hilbert 重逢，两人志趣相投，结为终生的挚友。

1884年，年方25的数学家Hurwitz来到Konigsberg大学当副教授，很快地便和闵可夫斯基及Hilbert建立起友谊，共同的科学爱好把他们紧密地结合在一起。每天下午五点，都可以看见他们三人在苹果园里散步，讨论当前的数学问题，时而低头苦思、时而滔滔不绝，时而争辩，时而会心地哈哈大笑，旁人看来真是一群数学疯子。然而，这些讨论对他们各自的数学工作产生重要的影响。Hilbert 后来写道：在无数次的散步中，我们三人探究了数学科学的每一个角落。Hurwitz学识渊博，他总是我们的带路人。大学期间，Minkowski就曾因出色的数学工作而获奖。

1881年，法国科学发出通告，悬赏求解一个数学难题：试证任何一个正整数都可以表成五平方数的和。年仅十七岁的闵可夫斯基所做出的结果大大超过了原问题，然截稿日期已近，根据比赛规则需译为法文，但闵可夫斯基已经来不及，事已至此，他还是决定投稿一试。翌年，大奖揭晓，由十八岁的闵可夫斯基和英国著名数学家 Henry Smith 共同获奖。闵可夫斯基再次轰动Konigsberg。1885年夏，闵可夫斯基在 Konigsberg 大学取得博士学位。服过短暂的兵役后，1886 年被聘为 Bonn 大学讲师。1891年柏林大学的数学教授 Kronecker 去世，引起德国各大学教授、副教授的变动。 Konigsberg 大学副教授 Hurwitz 调到苏黎世大学担任数学教授， Hilbert 则接任他的位置，闵可夫斯基则升为 Bonn 大学副教授。1895年，Hilbert 被 Klein 网罗到哥廷根大学，闵可夫斯基就接任他在 Konigsberg 大学的教授职位。

1896年，闵可夫斯基转到苏黎世大学和 Hurwitz 共事。爱因斯坦曾是他的学生。1902年，闵可夫斯基也被 Klein 网罗，加入哥廷根大学的数学大师之林，一直到他过世为止。闵可夫斯基在1897年结婚，他的妻子 Auguste Adler 是 Konigsberg 附近一位皮革厂厂长的女儿。他们有两女儿。1909年1月10日，闵可夫斯基在正达创作力高峰时，突患急性阑尾炎，抢救无效，不幸于1月12日去世，年仅45岁。生前挚友 Hilbert 替他整理遗作，1911年出版《闵可夫斯基全集》 (Gesammelte Abhandlungen von Hermann Minkowski)。

闵可夫斯基工作的主要领域在数论、代数和数学物理方面。在数论领域，他对二次型进行了重要的研究。在1881年法国科学院悬赏的大奖中，闵可夫斯基钻研了高斯、狄利克雷等人的论著，深入研究了n元二次型，建立了完整的理论体系。此后，闵可夫斯基继续研究，于1905年建立了实系数正定二次型的约化理论，被称为“闵可夫斯基约化理论”。

在数学物理方面，闵可夫斯基在波恩大学任职时，曾协助著名物理学家赫兹研究电磁波的理论。1905年以后，闵可夫斯基将几乎所有精力放在电动力学上。1907年，闵可夫斯基认识到可以用非欧空间来描述洛仑兹和爱因斯坦的工作，将过去被认为是独立的时间和空间结合到一个四维的时空结构中，即闵可夫斯基时空。闵可夫斯基时空为广义相对论的建立提供了框架。

为纪念这位数学家，第12493号小行星以他的名字“闵可夫斯基”命名。