Lecture 10 Geometry 1 (Introduction)

Examples of geometry 几何的例子

• 不同形状的几何
• 光滑的曲面
• 复杂的模型、位置摆放
• 布料
• 水滴
• 城市（复杂在东西多）
  • 怎么存储
  • 怎么渲染这么大级别的东西
    • 离得远的情况下如何简化几何模型
    • 如何利用光线之间的连续性
• 毛发
• 微观几何
• 树枝、树叶

Various representations of geometry 几何的不同表示方式

图形学中将几何分为两类Implicit隐式和Explicit显式

根据需要来选择表示方法

Implicit geometry隐式几何

• algebraic surface （不直观）

• Level Sets （水平集）

  

  • 水平集的表述类似距离函数，区别在于水平集的表述写在格子上，只需要找到值为0的地方，就可以把水平集试图描述的几何提取出来（在地理上的应用为等高线）

  • 水平集也可以定义在三维空间上的格子

    

    如果有一个三维纹理表示的是人体不同位置的密度，则可以提取出密度等于某一特定值的几何形体

  • 水花也可以通过水平集或距离函数的方式描述

• Distance Functions

  对于任何一个几何，都不直接描述表面，而去描述空间任何一个点到这个表面的最近距离（可以是正的或是负的）

  • SDF

    

    黑色表示遮挡，白色表示未被遮挡，我们想要A运动到B的图像，若是简单混合AB，得到的结果为前\(2/3\)都为遮挡

    运动SDF（S表示signed），在遮挡边缘处有接近\(0\)的值，远离\(0\)的地方根据正负做出来，于是能根据AB得到两张渐变的图\(SDF(A)和SDF(B)\)，再将\(SDF(A)和SDF(B)\)做\(blend\)操作，再恢复成不是SDF的图，可以得到左边是黑的，右边是白的

  • 水花也可以通过水平集或距离函数的方式描述

• Constructive Solid Geometry (CSG)

  

  定义一些简单运算，通过基础几何和简单运算形成复杂几何

  如Max、Maya都支持这种表示方法

• Fractals 分形

  自相似，类似递归

  在图形学中应用不多，很难控制形状，因为变化频率过快，引起走样

• ...

隐式几何建立在将点归类的基础上

• 满足特定关系的点

  如球面：所以点都在\(x^2+y^2+z^1=1\)的三维空间上

  更通用的情况\(f(x,y,z)=0\)

对于一个隐式几何，很难知道它是什么形状

易于查询

好处是很容易判断一个点在不在该几何形体上或内外

适合描述拓扑结构

难以描述复杂形状

将点带入表达式，若结果为负代表点在物体内，正的代表在物体外

Explicit geometry显式几何

• point cloud

  • 最简单的表示：一组点\((x,y,z)\)

  • 可以简单地表示任何几何

  • 三维空间扫描通常得到一堆点云（>>1 point/pixel）

  • 经常转化成多边形面

  • 很难绘制出采样不充分的区域

• triangle meshes

• Bezier surfaces

• polygon mesh

  • 存储顶点和多边形（通常是三角形或四边形）

  • 很容易用于处理/模拟，自适应采样

  • 数据结构更加复杂

  • 在图形学中最广泛的显式表示方式

  • 

    例：The Wavefront Object File(.obj)文件（不同于编译出的obj文件）

    该文件定义了顶点(\(v\))、法线(\(vn\))、纹理坐标(\(vt\))、三角面(\(f\)，格式为\(v/vn/vt（第几个顶点/第几个纹理坐标/第几个法线）\))

• subdivision surfaces， NURBS（非均匀有理B样条）

• ...

所有点都被直接给出（如一个三角形面、模型），或通过parameter mapping（参数映射）的方法给出

输入\(uv\)得到\(xyz\)，只需输入所有uv，就能得到所有点

\(f(u,v)=((2+\cos u)\cos v,(2+\cos u)\sin v,\sin u)\)

而显示表达很容易显示形状

但判断点是否在几何内外就变困难了，除非判断出是什么形状了