常见优化器对比：梯度下降法、带动量的梯度下降法、Adagrad、RMSProp、Adam

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李沐《动手学深度学习》线性神经网络 线性回归
李沐《动手学深度学习》优化算法（相关概念、梯度下降法、牛顿法）
李沐《动手学深度学习》优化算法（经典优化算法）

文章目录

• 系列文章目录
• 一、梯度下降法
• • （一）基本思想
  • （二）梯度下降法的三种不同形式
  • （三）优缺点
• 二、带动量的梯度下降法
• • （一）基本思想
  • （二）优点
• 三、Adagrad：自适应学习率优化算法
• 四、RMSProp：均方根传播
• 五、Adam
• 六、对比总结

一、梯度下降法

（一）基本思想

先设定一个学习率 η \eta η，参数沿着梯度的反方向移动。假设需要更新的参数为 w w w，梯度为 g g g，则梯度下降法的更新策略为：
w ← w − η ∗ g w\leftarrow w-\eta * g w←w−η∗g

李沐《动手学深度学习》中对于随机梯度下降法的阐释：

（二）梯度下降法的三种不同形式

• BGD（batch gradient descent）：批量梯度下降，每次参数更新使用所有样本
• SGD（stochastic gradient descent）：随机梯度下降，每次参数更新只使用1个样本
• MBGD（mini-batch gradient descent）：小批量梯度下降，每次参数更新使用小部分数据样本

（三）优缺点

优点：

• 算法简洁，当学习率取值恰当时，可以收敛到 全局最优点(凸函数)或 局部最优点(非凸函数)。

缺点：

• 对超参数学习率比较敏感：过小导致收敛速度过慢，过大又越过极值点；
• 学习率在选代过程中保持不变，很容易造成算法被卡在鞍点的位置；
• 容易陷入局部极小值。

更优的优化算法从梯度方面和学习率方面对参数更新方式进行优化。

二、带动量的梯度下降法

（一）基本思想

每一步更新都是由前面梯度的累计v和当前梯度g组合而成，进而使得参数的更新具有惯性。

α \alpha α为动量参数， v v v是动量， η \eta η是学习率

• 累计梯度： v ← α v + ( 1 − α ) g v\leftarrow \alpha v +(1-\alpha)g v←αv+(1−α)g
• 梯度更新： w ← w − η ∗ v w\leftarrow w-\eta * v w←w−η∗v

（二）优点

• 在梯度方向改变时，momentum能够降低参数更新速度，从而减少震荡；
• 在梯度方向相同时，momentum可以加速参数更新， 从而加速收敛。
• 动量有机会逃脱局部极小值（加入动量后，参数更新就可以保持之前更新趋势，而不会卡在当前梯度较小的点了）。

三、Adagrad：自适应学习率优化算法

Adagrad的关键就是对于不同的参数，会设置不同的学习率

主要思想： 根据每个参数在训练过程中的历史梯度信息来调整学习率，从而使得每个参数的学习率可以自适应地调整，更好地适应不同参数的特性。

特点： 对每个参数的学习率进行适应性调整，使得在训练过程中梯度较大的参数的学习率变小，而梯度较小的参数的学习率变大。

计算方式：

• 对于每个参数，初始化一个累计平方梯度 r = 0 r=0 r=0，然后每次将该参数的梯度平方求和累加到这个变量上：
  r ← r + g 2 r \leftarrow r+g^2 r←r+g2
• 学习率为：
  η r + δ \frac{\eta}{\sqrt{r+\delta}} r+δ ​η​
• 权重更新：（ g g g是梯度， δ \delta δ是小参数，为了避免分母为0）
  w ← w − η r + δ ∗ g w\leftarrow w-\frac{\eta}{\sqrt{r+\delta}}*g w←w−r+δ ​η​∗g

四、RMSProp：均方根传播

RMSProp全称为root mean square propagation均方根传播。

RMSProp算法是在AdaGrad算法的基础上，进一步在学习率的方向上进行优化： AdaGrad算法中，由于历史梯度的累积可能会导致学习率不断减小，从而影响算法的收敛速度。RMSProp通过引入一个衰减系数 λ \lambda λ来解决这个问题，从而使得学习率的衰减更加平缓，提高了算法的稳定性和收敛速度。

• 对于每个参数，初始化一个累计平方梯度 r = 0 r=0 r=0，然后每次将该参数的梯度平方求和累加到这个变量上：
  r ← λ r + ( 1 − λ ) g 2 r \leftarrow \lambda r+(1-\lambda)g^2 r←λr+(1−λ)g2
• 学习率为：
  η r + δ \frac{\eta}{\sqrt{r+\delta}} r+δ ​η​
• 权重更新：（ g g g是梯度， δ \delta δ是小参数，为了避免分母为0）
  w ← w − η r + δ ∗ g w\leftarrow w-\frac{\eta}{\sqrt{r+\delta}}*g w←w−r+δ ​η​∗g

五、Adam

Adam算法是一种用于优化神经网络训练的自适应学习率优化算法。它结合了动量梯度下降和自适应学习率方法的优点，具有广泛的应用和高效的性能。

在Grandient Descent的基础上，Adam的改进包括：

• 梯度方面增加了momentum，使用累计梯度 v ← α v + ( 1 − α ) g v\leftarrow \alpha v +(1-\alpha) g v←αv+(1−α)g
• 用RMSProp优化算法的方式对学习率进行优化，使用累计平方梯度： r ← λ r + ( 1 − λ ) g 2 r\leftarrow \lambda r+(1-\lambda)g^2 r←λr+(1−λ)g2
• 偏差纠正： v ^ = v 1 − α t \hat{v}=\frac{v}{1-\alpha^t} v^=1−αtv​， r ^ = r 1 − λ t \hat{r}=\frac{r}{1-\lambda^t} r^=1−λtr​

在上述3点改进的基础上，* 权重更新： w ← w − η r ^ + δ ∗ v ^ w\leftarrow w-\frac{\eta}{\sqrt{\hat{r}+\delta}}*\hat{v} w←w−r^+δ ​η​∗v^

六、对比总结

参考：优化器 ｜SGD ｜Momentum ｜Adagrad ｜RMSProp ｜Adam