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导言
在学习数值分析时，我们会遇到这样一个名词，叫做“谱半径”，意思是矩阵的特征值绝对值中的最大值。有的同学可能会好奇，为什么叫做谱半径，而不是别的什么半径。而类似的称呼有“谱范数”，也就是2-范数。其实“谱”这个字来自于线性代数中的谱理论。图1是以上两个名词的完整定义。
图1.谱半径与谱范数的定义 -
谱理论（Spectral Theory）
线性代数中的谱理论是研究线性变换、矩阵和向量空间特征值与特征向量的理论。谱理论主要关注于矩阵的特征值和特征向量。在谱理论中，特征值描述了线性变换或矩阵沿着特定方向的拉伸或压缩因子，而特征向量则是描述这些特征值对应的特定方向。通过分析特征值和特征向量，可以得到许多重要的结论和性质，比如矩阵的对角化、矩阵的幂运算、矩阵的稳定性等。而这一理论也可以在频谱分析中运用。例如对系统进行稳定性分析，对于线性时不变系统，系统的稳定性可以通过矩阵的谱半径进行分析。如果矩阵的谱半径小于1，则系统是稳定的；如果谱半径大于1，则系统是不稳定的。
图2.“谱”概念图 -
详细解释
谱理论中的“谱”这个名词来源于拉丁文中的“spectrum”，意为光谱。这个术语最初是从光学领域引入线性代数和数学中的，用来描述矩阵的特征值。
在光学中，“光谱”是指通过光的分光镜或光谱仪分解出的不同波长的光线，可以展现出物质的特定性质。而在数学中，将矩阵的特征值称为“谱”则是受到了这种光谱现象的启发，认为矩阵的特征值也能够揭示出矩阵本身的重要特性。具体的例子如图3。
图3.光谱与矩阵谱的类比因此，谱理论中的“谱”一词实际上是一种类比，将矩阵的特征值类比为光学中的光谱，用以描述矩阵的结构和性质。这种类比让我们能够更好地理解矩阵的特征值对于矩阵本身行为的影响，进而推动了谱理论在数学、物理、工程等领域的广泛应用。
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总结
省流：谱半径中的谱来源于线性代数中的谱理论，而谱理论的谱是因为其与光谱都能揭示对应领域的某些性质，所以将其进行类别，命名为”谱“。
注：本文图1图2来源于知乎，部分内容由GPT3.5生成，如果想对数学中的“谱”有更多了解，可以看知乎的这篇文章：数学之前|谱：spectrum - 知乎 (zhihu.com)
标签：特征值,特征向量,光谱,理论,矩阵,意思,半径,什么 From： https://blog.csdn.net/weixin_74052912/article/details/136884751