简读+案例：一文带你秒懂IEEE 754浮点数~

一、简介

1、常见的浮点数表示方式是IEEE 754标准，它规定了浮点数的存储格式和运算规则，这个标准定义了两种浮点数表示：单精度和双精度。

2、任何一个浮点数的二进制数可以写为：NUM = (-1) ^ S* 2 ^ E * M 。以float32类型举例：

    2.1、S表示符号：S为0时表示一个正数；当S为1时表示一个负数

    2.2、E表示阶乘、指数：E是一个无符号整数，所以E的取值范围为（0~ 255）。但是在计数中指数是可以为负的，所以规定在存入E时，在它原本的值上加上中间数（127），在使用时减去中间数（127），这样E的真正取值范围就成了（-127~128）。对于E还分为以下三种情况：

（1）E不全为0，不全为1：这时就用正常的计算规则，E的真实值就是E的字面值减去127（中间值)，M的值要加上最前面的省去的1

（2）E全为0：这时指数E等于1-127为真实值，M不再加上舍去的1，而是还原为0.xxxxxxxx小数。这样为了表示0，和一些很小的整数。

（3）E全为1时分三种浮点数特殊情况：M全为0时，±无穷大（取决于符号位）；M为非全0时，表示NaN。

    2.3、M表示有效数字、尾数：规定M的值一定是1 <= M < 2，可以写成1.xxxxxxx的形式，所以规定M在存储时舍去第一个1，只存储小数点之后的数字。这样做节省了空间，以float类型为例，就可以保存23位小数信息，加上舍去的1就可以用23位来表示24个有效的信息

3、单精度（32位）：符号位（1 bit）、指数位（8 bits）、尾数位（23 bits）

4、双精度（64位）：符号位（1 bit）、指数位（11 bits）、尾数位（52 bits）

5、存储格式：以float32的浮点数举例如下图

二、十转二进制

1、以float32浮点数和23.375浮点数举例

2、整数转换方式：对2取余

3、小数转换方式：对小数进行2乘留整再对小数2乘直至为小数部分为0

4、合并整数和小数部分：10111 和小数部分 0.011 得到二进制浮点数 10111.011

5、规范化和指数表示

（1）规范化二进制浮点数，确保小数点前只有一位非零数，得到 1.0111011。调整小数点的位置，相应地更新指数值

（2）指数表示：在IEEE 754标准中，添加一个偏移值。如果规范化后的二进制表示为 1.0111011，那么指数为 4，因为小数点向左移动4位。加上偏移值，指数为 4 + 127 = 131，转为二进制为10000011

6、最终，将符号位、指数和尾数合并，得到IEEE 754标准的二进制浮点数表示为：

三、二转十进制

1、以上面的23.375浮点数的转换结果0 10000011 01110110000000000000000举例

2、主要是这个公式：NUM = (-1) ^ S * 2 ^ E * M，分三步

第一步：(-1) ^ S

第二步：2 ^ E

第三步：M

3、符号位 (-1) ^ S：（-1）^0

4、指数位 2 ^ E ：将二进制转十进制为131，然后减去偏移值127，得到5、那么这里就是 2 ^ 4

6、M：分两步

1. 1. 先转换为二进制浮点数，根据E不全为0或1的规则得到：1.01110110000000000000000

   2. 再用2的阶乘的方式转换为浮点数，如下：

      

四、误差

1、如下代码展示

2、原因：在计算机中，由于浮点数的表示方式是有限的，有些十进制小数无法精确表示为二进制浮点数。这导致在进行浮点数运算时可能出现舍入误差，进而导致预期的结果和实际的二进制浮点数表示的结果不完全相等。

3、将0.1转为二进制

4、这个过程会一直持续下去，因为 0.1 在二进制中是一个无限循环小数。

5、将-0.1转为二进制

6、首先，-0.1 可以表示为二进制的补码形式。如果我们考虑一个32位的单精度浮点数，其符号位为1，指数位为127（偏移值），尾数部分为 0.00011001100110011001100...（重复的 1100 模式）。

7、进行加法操作

8、这个结果实际上是一个无限循环的二进制小数。由于计算机内存是有限的，最终只能存储一个有限位数的二进制小数，因此可能会进行截断或舍入操作，导致精度损失。

9、在实际计算机系统中，这种舍入误差可能会导致结果不等于精确的零，因为我们不能精确地表示无限循环小数。这就是为什么在计算机编程中进行浮点数比较时，通常使用一个小的误差范围而不是直接比较相等。

10、改进方式