【蓝桥杯】（台阶方案dp）

#include <iostream>
using namespace std;
#define LL long long
const int N=1e6+5;
const LL p=1e9+7;
LL dp[N];
int a[3];//
int main()
{
    LL n;
    cin>>n;
    cin>>a[0]>>a[1]>>a[2];
     dp[0]=1;//当目标值为 0 时，只有一种方案
     for (int i=1;i<=n;++i)
    {
        for (int j=0;j<3;j++)
        {
            if (i-a[j]>=0) 
            dp[i]=(dp[i]+dp[i-a[j]])%p;
        }
    }
      cout<<dp[n];

  return 0;
}

n = 5
a[0] = 1 a[1] = 2 a[2] = 3

首先，初始化 dp[0] = 1。从 1 开始循环到 5，对于每个位置 i，根据步长数组 a 来更新 dp[i] 的值。

当 i = 1 时：

• 对于 j = 0，i - a[j] = 1 - 1 = 0，所以 dp[i] = dp[i] + dp[i - a[j]] = dp[i] + dp[0] = 1 + 1 = 2。

当 i = 2 时：

• 对于 j = 0，i - a[j] = 2 - 1 = 1，所以 dp[i] = dp[i] + dp[i - a[j]] = dp[i] + dp[1] = 0 + 2 = 2。
• 对于 j = 1，i - a[j] = 2 - 2 = 0，所以 dp[i] = dp[i] + dp[i - a[j]] = dp[i] + dp[0] = 2 + 1 = 3。

当 i = 3 时：

• 对于 j = 0，i - a[j] = 3 - 1 = 2，所以 dp[i] = dp[i] + dp[i - a[j]] = dp[i] + dp[2] = 0 + 2 = 2。
• 对于 j = 1，i - a[j] = 3 - 2 = 1，所以 dp[i] = dp[i] + dp[i - a[j]] = dp[i] + dp[1] = 2 + 2 = 4。
• 对于 j = 2，i - a[j] = 3 - 3 = 0，所以 dp[i] = dp[i] + dp[i - a[j]] = dp[i] + dp[0] = 4 + 1 = 5。

当 i = 4 时：

• 对于 j = 0，i - a[j] = 4 - 1 = 3，所以 dp[i] = dp[i] + dp[i - a[j]] = dp[i] + dp[3] = 0 + 5 = 5。
• 对于 j = 1，i - a[j] = 4 - 2 = 2，所以 dp[i] = dp[i] + dp[i - a[j]] = dp[i] + dp[2] = 5 + 2 = 7。
• 对于 j = 2，i - a[j] = 4 - 3 = 1，所以 dp[i] = dp[i] + dp[i - a[j]] = dp[i] + dp[1] = 7 + 2 = 9。

当 i = 5 时：

• 对于 j = 0，i - a[j] = 5 - 1 = 4，所以 dp[i] = dp[i] + dp[i - a[j]] = dp[i] + dp[4] = 0 + 9 = 9。
• 对于 j = 1，i - a[j] = 5 - 2 = 3，所以 dp[i] = dp[i] + dp[i - a[j]] = dp[i] + dp[3] = 9 + 5 = 14。
• 对于 j = 2，i - a[j] = 5 - 3 = 2，所以 dp[i] = dp[i] + dp[i - a[j]] = dp[i] + dp[2] = 14 + 2 = 16。

通过动态规划的思想将步长和方案数进行了关联。对于每一个位置 i，通过遍历步长数组 a 中的每一个值，来计算当前位置 i 的方案数 dp[i]。

假设当前要计算的位置是 i，那么遍历步长数组 a 中的每一个步长 a[j]，如果 i - a[j] >= 0，说明当前位置可以由之前的某个位置经过步长 a[j]到达，此时就累加上到达该位置的方案数 dp[i-a[j]] 到当前的方案数 dp[i] 中。这样就能够实现将步长和方案数进行关联，动态地计算出每个位置的方案数。

当 n 的值为 0 时，for (int i=1; i<=n; ++i) 不会执行任何循环，而 for (int i=1; i<n; i++) 会执行一次循环。取决于具体需求，选择适当的循环条件。