背景
Mixup（混合）
定义
对于一个样本\((x_i,y_i)\)，将其与另一个样本\((x_j,y_j)\)混合：
\[\begin{aligned} \tilde{x}_i &= \lambda x_i + (1-\lambda)x_j, \\ \tilde{y}_i &= \lambda y_i + (1-\lambda)y_j, \end{aligned}\tag{1} \]其中\(\lambda\)采样于Beta(α,α)，α>0，j采样于Uniform([n])，n为数据集大小。
作用
Mixup是一种线性插值的数据增强，由于其简单性、泛化性和Robust，mixup 已成为机器学习的一项基本技术。广泛用于semi-supervised learning，noisy-label learning等。
DNN的校准（Calibration）
模型的不确定性
一个经过良好校准的模型应该对可能是真实情况的预测充满信心，而当它可能不准确时则表明高度不确定性。
- 在一个二分类任务中取出大量（M个）模型预测概率为0.6的样本，其中有0.6M个样本真实的标签是1。总结一下，就是模型在预测的时候说某一个样本的概率为0.6，这个样本就真的有0.6的概率是标签为1。
- 还是在一个二分类任务中取出大量（M个）模型预测概率为0.6的样本，而这些样本的真实标签全部都是1。虽然从accuracy的角度来考察，模型预测样本概率为0.6最后输出时会被赋予的标签就是1，即accuracy是100%。但是从置信度的角度来考察，这个模型明显不够自信，本来这些全部都是标签为1的样本，我们肯定希望这个模型自信一点，输出预测概率的时候也是1。[引用]
抽象来说，完美的校准模型应该满足\(\mathbb{P}(\hat{y}=y|\hat{p}=p) = p,p\in[0,1]\)，其中\(\hat{y}\)是模型的预测标签，\(\hat{p}\)是模型的预测概率，y是真实标签。
早期研究
在早期，对于模型输出不确定性（uncertainty）研究主要集中在贝叶斯神经网络（Bayesian Neural Networks）上，但是由于其计算复杂度高，所以并没有得到广泛应用。而近年来，神经网络的不确定性研究逐渐成为热点。
[1]指出后校准（post-calibration）对于过度自信的深度神经网络的重要性。在这篇论文，作者选择最简单的后校准方法：Temperature Scaling(TS)。
post-calibration就是对模型的输出进行操作，可以是直接在模型输出上改，也可以是使用特殊的损失函数。而本文讨论的一般calibration，就是在训练时引入mixup。
Introduction
（省略了参考文献的引用）
Mixup的效果
- Mixup可以改善模型架构和数据集校准。
- Mixup对高维状态下校准的影响存在理论解释。
- Mixup隐式执行标签平滑，因此可以避免过度自信问题。
- 也有经验观察表明，mixup并不一定能改善校准：实证研究表明，与单独使用集成的其中之一相比，将混合与集成相结合会降低校准性能（这里的集成指的是：每个输入x，计算T次mixup后的结果，求平均）。特别是，研究者认为混合和集成都会导致模型信心不足，因此当它们一起使用时会出现信心不足的问题。
对于Mixup的研究和贡献
作者总结了之前的mixup的问题：
- 某些方法不经过后校准，就去作比较不公平（即使它们都在训练时进行了校准）。
- 训练时校准的模型表现好，不代表后校准后模型表现好。
提出了疑问：
- mixup 真的有助于校准吗？
- 如果没有，是什么导致了失败？
- 我们如何减轻校准中的mixup陷阱？
总结了贡献：
- 加入后校准降低了总体的不确定估计。
- 解耦mixup并找到校准退化的元凶。
- 考虑准确性和预算的情况下，mixup这种类似集成的方法不比一般的深度集成好。
- mixup校准问题可通过引入训练解决。通过这个过程，每个原始样本的输出可以恢复，以便从one-hot标签中学习，避免置信惩罚的负面影响。
Mixup是否有助于校准
设置含/不含后校准的指标：
- 用期望校准误差（Expected Calibration Error，ECE）评估校准。
- Calibrated ECE：加入TS经过后校准的ECE。
TS 的工作原理是将 softmax 层的温度替换为在保留验证集上产生最佳校准结果的值。
- Optimal ECE：直接在测试集上找到温度，并将结果表示为最佳 ECE，它可以被视为校准 ECE 的下限，并帮助我们识别哪个模型在事后校准阶段更可校准。
- 仅考虑没有后校准的模型，也就是和ECE指标水平的这部分行，mixup表现大部分优于ERM。
- 当涉及后校准（Calibrated ECE & Optimal ECE），mixup就比ERM逊色了许多。
这些结果表明，尽管经过 mixup 训练的模型在主训练后可能会提供更好的校准性能，但在校准后阶段很难进一步改进它们，即不如 ERM 训练的模型。对于较大的模型（ResNet-110, ResNet-152），这种现象更加明显。
- 对比ERM，不同的α设置对于mixup的指标也有着重要影响，α=0.1就明显比其他的α要好。
- α为合适的值时有助于校准，这可能是mixup正则化的影响：隐式地惩罚尖锐的输出以避免过度自信的问题。然而，当正则化变得更强，即混合中使用更大的α时，可能会导致信心不足的问题，这也是一种错误校准的情况。
Figure 1展示了：(1) 不同数据集的最佳 α 不同，这意味着我们需要在新任务上仔细选择 α； (2) 即使具有最好的 α，未校准和校准的 ECE 之间仍然存在很大的差距。一旦涉及后校准(a,b,d红线)，mixup往往会降低校准性能，尤其是在较大的 α 上（这对于获得所需的精度很重要）。
使用mixup如何做到校准和低ECE共存？
校准中的mixup为何失败
[2]的Theorem 1 mixup可解耦为红色的数据变换（Data Transformation）和蓝色的随机扰动（Random Perturbation）：
\[\begin{aligned} \widetilde{x}_i&=\color{red}{\bar{x}}+\color{red}{\bar{\lambda}}(x_i\color{red}{-\bar{x}})+\color{blue}{(\lambda-\bar{\lambda})x_i+(1-\lambda)x_j-(1-\bar{\lambda})\bar{x}}\\ &=\color{red}{x'_i}+\color{blue}{\epsilon_i^x},\\ \widetilde{y}_i&=\color{red}{{\bar{y}+\bar{\lambda}}(y_i-\bar{y})}+\color{blue}{(\lambda-\bar{\lambda})y_i+(1-\lambda)y_j-(1-\bar{\lambda})\bar{y}} \\ &=\color{red}{y'_i}+\color{blue}{\epsilon_i^y}, \end{aligned}\tag{2} \]- 随机变量\(\lambda\sim\mathrm{Beta}_{\left[\frac12,1\right]}(\alpha,\alpha),\ j \sim Uniform([n])\)，其中\(\alpha>0,n>0,\bar{\lambda}=\mathbb{E}_\lambda\lambda\)，对于\(i\in[n]\)的任意样本可混合为\((\widetilde{x}_i,\widetilde{y}_i)\)。
- \(\bar{x}\)和\(\bar{y}\)是训练集的均值，随机扰动项满足\(\mathbb{E}_{\lambda,j}\epsilon_{i}^{x}=\mathbb{E}_{\lambda,j}\epsilon_i^y=0\)。
假设标签平衡，Data Transformation相当于标签平滑，Random Perturbation的两个\(\epsilon\)期望为0，随机扰动项将为每个变换后的输入和标签添加零均值噪声。
根据式（2）的解耦，对mixup做消融实验：
- Mixup-DT：only uses the Data Transformation part of Equation (2);
- Mixup-TO：mixes between Target labels Only;
- Mixup-SC：mixes within Same Class;
- Mixup-IO: mixes between Inputs Only
对Target的改变，损害了校准表现。（看DT、TO在ECE和置信度的表现）但SC、IO并不优越，这两者在精度上逊色于DT、TO（图3所示）。如何兼顾准确率与精度？
缓解Mixup的负面效果
[3]给出了mixup对标签y的推理过程，对于x最后的推理结果\(F_{MI}(x)\)就是N次推理集成的结果。
上图来自文献[3]
然而，如果输出空间中没有解耦过程，则很难通过这种简单的mixup推理方法获得精确的标签置信度信息。
根据mixup后的标签：
\[\begin{aligned}\widehat{\widetilde{y}}_1&=\lambda_1\widehat{y}_a+(1-\lambda_1)\widehat{y}_b,\\\widehat{\widetilde{y}}_2&=\lambda_2\widehat{y}_a+(1-\lambda_2)\widehat{y}_b,\end{aligned} \]可以解耦mixup前的标签：
\[\begin{gathered} \begin{aligned}\widehat{y}_{a}&=\frac{\widehat{\widetilde{y}}_{1}-\widehat{\widetilde{y}}_{2}(1-\lambda_{1})/(1-\lambda_{2})}{\lambda_{1}-\lambda_{2}(1-\lambda_{1})/(1-\lambda_{2})},\end{aligned} \\ \begin{aligned}\widehat{\widetilde{y}}_b&=\frac{\widehat{\widetilde{y}}_2-\widehat{\widetilde{y}}_1\lambda_2/\lambda_1}{1-\lambda_2-(1-\lambda_1)\lambda_2/\lambda_1}.\end{aligned} \end{gathered}\tag{4} \]并基于上面的Mixup Inference进行修改：
同样的这里的第7行也是一个集成的结果
MI-O指的是\(\lambda_2=0,\tilde{y}_2\)从测试集中获取，因此每次迭代只需要进行一次前向推到。
但是上图可以看到MI的结果并不一定不一般的集成和mixup要好。即使在文中，作者对每个样本进行T=15次的迭代，MI的ECE与ACC取得了增长，但还得考虑迭代期间的计算成本和耗时。
原论文从这里开始，作者似乎有意得忽视了集成，在代码中没有找到论文后续提出的方法关于Mixup Inference的T次迭代集成。
观察到Figure 2的MIXUP-SC, MIXUP-IO，由于直接使用one-hot作为标签，没有收到mixup正则化的置信度惩罚的影响，作者考虑到将one-hot与Mixup Inference恢复的\(\hat{y}\)做一个mixup（Figure A(b)）：
实践中，发现\(\lambda_1\sim\mathrm{Beta}_{[0.5,1]}(\alpha,\alpha)\)与\(\lambda_2\sim\mathrm{Beta}_{[0,0.5]}(\alpha,\alpha)\)差值较大时表现更好。作者还将这种解耦用在了resnet的每个layer之后，对每个隐藏层的输出解耦再mixup，发现表现有也提升，而且这种做法增加的计算成本可忽略不计。
总结
作者用了较大的篇幅介绍mixup解耦的消融实验，发现使用mixup后的target由于置信度惩罚，会影响了模型的自信，最后提出的方法是将模型输出的mixup target 解耦恢复并与one-hot mixup，以及提出了trick：在backbone的每个layer的输出进行mixup操作。
参考文献
- John Platt et al. Probabilistic outputs for support vector machines and comparisons to regularized likelihood methods. Advances in Large Margin Classifiers, 10(3):61–74, 1999.
- Carratino, Luigi, et al. "On mixup regularization." The Journal of Machine Learning Research 23.1 (2022): 14632-14662.
- Pang, Tianyu, Kun Xu, and Jun Zhu. "Mixup inference: Better exploiting mixup to defend adversarial attacks." arXiv preprint arXiv:1909.11515 (2019).
- 作者公开的代码
- 作者公开的附录