隐零点的多次转化

已知函数\(f(x)=e^x-a\ln(x+1)\)

(1)若\(f(x)\)的最值为\(a\)，求\(a\)

(2)当\(a=\dfrac{1}{e^n}(n\in\mathbb{N})\)时，证明：\(f(x)\geq (n+1)a\)

解
(1) 由费马定理，连续函数在开区间内取最值，一定是导函数为\(0\)的点

\(f^{\prime}(x)=e^x-\dfrac{a}{x+1}=0\)，设其零点为\(x_0\)，则

\(a=e^{x_0}(x_0+1)\)，此时\(f(x)\)的最值为

\(f(x_0)=e^{x_0}-e^{x_0}(x_0+1)\ln(x_0+1)=a=e^{x_0}(x_0+1)\)

即\(x_0+(x_0+1)\ln(x_0+1)=0\)

记\(h(x)=x_0+(x_0+1)\ln(x_0+1)\)，\(h^{\prime}(x)=-\ln(1+x)\)

即\(\dfrac{x}{x+1}+\ln(x+1)=0\)

即\(\ln(x+1)-\dfrac{1}{x+1}+1=0\)，单调递增

从而只有一个零点\(x_0=0\)

则\(a=1\)

(2)

由(1)\(f(x)\)有最小值\(f(x_0)=e^{x_0}-a\ln(x_0+1)\)

\(a=e^{x_0}(x_0+1)\)，即\(e^{x_0}=\dfrac{a}{x_0+1}\)

而\(a=\dfrac{1}{e^n}\)，即\(e^{-n-x_0}=(x_0+1)\)，即\(n+x_0=-\ln(x_0+1)\)

则\(f(x_0)=\dfrac{a}{x_0+1}+a(n+x_0)=\dfrac{a}{x_0+1}+a(x_0+1)+a(n-1)\)

从而\(f(x_0)\geq 2a+a(n-1)=a(n+1)\)