标签：infty frac sum solution 3j cf1548c 3n binom

CF1548C Solution

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题意说人话就是每次给 \(x\) 求 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n\binom{3i}x\)。

由于多组询问，考虑能不能生成函数。

设

\[\begin{aligned} f_k&=\sum_{i=1}^n\binom{3i}k\\ F(x)&=\sum_{i=0}^\infty f_{i}x^i\\ &=\sum_{i=0}^\infty\sum_{j=1}^n\binom{3j}ix^i\\ &=\sum_{j=1}^n\sum_{i=0}^\infty\binom{3j}ix^i\\ &=\sum_{j=1}^n(x+1)^{3j}\\ &=(x+1)^3\frac{(x+1)^{3n}-1}{(x+1)^3-1}\\ \end{aligned}\]

因此 \(f_k=[x^k](x+1)^3\frac{(x+1)^{3n}-1}{(x+1)^3-1}\)。

至于 \((x+1)^3\frac{(x+1)^{3n}-1}{(x+1)^3-1}\) 怎么求，其实直接二项式定理展开后大除法就好了。因为分母只有 \(3\) 次。

复杂度 \(\mathcal O(n+m+\log p)\)。

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