特征方程法解通项公式

本质是母函数的推导形式。
不是很会，可能会了母函数之后回来补坑。

先来写一个例子。

我们有递推式 \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\)。

我们仿照这个递推式写出一个方程 \(x^2=x+1\)。

解得 \(x_1=\frac{1+\sqrt5}{2}\)，\(x2=\frac{1-\sqrt5}{2}\)。

于是得 \(a_n=yx_1^n+zx_2^n=y(\frac{1+\sqrt5}{2})^n+z(\frac{1-\sqrt5}{2})^n\)，我们代入 \(a_0\) 和 \(a_1\) 解出 \(y\) 与 \(z\)，就能得到通项公式了。

其过程大概就是根据数列的第几项决定其次数，然后列一个方程解出来，解出来的根的 \(n\) 次方乘一个系数在通项公式里面作为一个项，然后再代入数列初始的几个数解出系数即可。

如果有重根的话，第二项系数需要乘 \(n\)，第三项乘 \(n^2\)，以此类推。