1 事件与概率

1.1 相关概念

• 样本空间：某次随机试验的所有可能结果的集合，一般记为 $S$。
• 样本点：试验的每个结果，即 $S$ 中的元素。
• 事件：$S$ 的子集。

1.1.1 事件

1. 基本事件：由一个样本点组成的只有一个元素的集合。
2. 必然事件：在某种条件下必然会发生的事件。
3. 不可能事件：在某种条件下一定不会发生的事件
4. 随机事件：在某种条件下不一定发生的事件。
   必然事件和不可能事件统称确定事件，确定事件与随机事件统称事件。

1.1.2 频数、频率与概率

1. 频数：在相同条件下进行 $n$ 次试验，观察某一事件 $A$ 是否发生，称 $n$ 次试验中 $A$ 的发生次数为 $A$ 的频数，记作 $n_A$。
2. 频率：在频数的基础上，称 $A$ 出现的比例 $\dfrac{n_A}{n}$ 为事件 $A$ 的频率。
3. 概率：对于一个事件，其频率 $\dfrac{n_A}{n}$ 随着试验次数增加而不断趋定于某个值，称之为 $A$ 发生的概率。记作 $P(A)$。

1.2 事件的关系与运算

如下表所示：

2 概率公式

2.1 条件概率

我们记 $P(B|A)$ 表示在事件 $A$ 发生的前提下，事件 $B$ 发生的概率。

请注意：这里是假设 $A$ 发生的前提下，而并非 $A$ 实际发生。

那么如何计算条件概率呢？当 $P(A)>0$ 时，我们有：

$$
P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}
$$

同时我们有会有推论：当且仅当 $A,B$ 事件独立时，$P(B|A)=P(B)$ 。

证明如下：

首先证 $\Rightarrow$ 。

当事件 $A,B$ 独立时，有 $P(AB)=P(A)P(B)$。

因此这时有 $P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}=\dfrac{P(A)P(B)}{P(A)}=P(B)$。

接下来证 $\Leftarrow$。

若 $P(B|A)=P(B)$，则 $\dfrac{P(AB)}{P(A)}=P(B)$，即 $P(AB)=P(A)P(B)$。

因此 $A,B$ 事件独立。

证毕。

再次由条件概率公式，将分母移到左边可得：

$$
P(AB)=P(A)P(B|A)
$$

这被称之为概率的乘法公式。

2.2 全概率公式

对于若干事件 $A_1,A_2\cdots,A_n$ 两两互斥，同时满足 $A_1\bigcup A_2\bigcup\cdots\bigcup A_n=\Omega$，且 $P(A_i)>0$ ，则对于事件 $B\subseteq\Omega$，有：

$$
P(B)=\sum_{i=1}^nP(A_i)p(B|A_i)
$$
这被称作全概率公式，是概率论中最基础的公式之一。

全概率公式用于：导致一件事情发生的原因有很多（原因互斥），求其发生的概率。

2.3 贝叶斯公式

对于若干事件 $A_1,A_2\cdots,A_n$ 两两互斥，同时满足 $A_1\bigcup A_2\bigcup\cdots\bigcup A_n=\Omega$，且 $P(A_i)>0$ ，则对于事件 $B\subseteq\Omega$，有

$$
P(A_i|B)=\frac{P(A_iB)}{P(B)}=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)}=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum\limits_{k=1}^nP(A_k)P(B|A_k)}
$$
贝叶斯公式可以用于：导致一件事情发生的原因有很多（原因互斥），求这件事情已经发生后，是某个原因导致的概率。

3 期望

3.1 定义

事件 $A$ 有多种结果，记其结果的大小为 $x$，则 $x$ 的期望值表示事件 $A$ 的平均大小，记作 $E(x)$。

$E(x)=$ 每种结果的大小与其概率的乘积的和。

3.2 性质

期望具有线性性质。

• 对于随机变量 $x,y$ 与常量 $a,b$ ，有 $E(ax+by)=aE(x)+bE(y)$。
• 当随机变量 $x,y$ 相互独立时，有 $E(xy)=E(x)E(y)$

在一般情况下，求解概率时正推，求解期望时逆推。