数学期望和概率计算题

1. 两个人同一天生日(通过所有均等的可能理解概率)

一个班上有64个人，求存在两人同一天生日的概率，一年365天

要计算至少有两人在同一天生日的概率，我们首先计算没有人在同一天生日的概率，然后用1减去这个概率。具体的数学公式如下：

没有人在同一天生日的概率

假设有 ( n ) 个人，一年有 ( d ) 天（在这个例子中 ( n = 64 ) 且 ( d = 365 )）。

第一个人可以在任何一天生日，所以有 ( d ) 种选择（即365种）。

第二个人不能在第一个人的生日那天生日，所以有 ( d - 1 ) 种选择。

第三个人不能在前两个人的生日那天生日，所以有 ( d - 2 ) 种选择。

依此类推，第 ( n ) 个人将有 ( d - (n - 1) ) 种选择。

因此，没有人在同一天生日的概率为：

$ P(\text{unique}) = \frac{d}{d} \times \frac{d - 1}{d} \times \frac{d - 2}{d} \times \ldots \times \frac{d - (n - 1)}{d} $

也可以写作：

$ P(\text{unique}) = \prod_{i=0}^{n-1} \frac{d - i}{d} $

至少有两人在同一天生日的概率 = 1 - 没有人在同一天生日的概率：$ P(\text{shared}) = 1 - P(\text{unique}) $

2. 刷满100道力扣的数学期望天数（数学期望的含义）

假设有两百道题，小明每天随机刷一道，可能刷到重复的，那么刷完100种题目的数学期望天数是多少

要计算小明刷完100种不同题目的数学期望天数，我们可以使用以下数学公式和分析：

假设有 T 道总题目（本例中 T = 200 ），目标是刷完 N 种不同的题目（本例中 N = 100 ）。我们需要计算达到这个目标所需的平均天数。

1. 第一天，小明随机刷一道题，他一定会刷到一道新题。所以，第一天刷到新题的概率是 $ \frac{T}{T} = 1 $。

2. 第二天，小明刷到另外一道新题的概率是 $ \frac{T - 1}{T} $，因为已经有一道题被刷过了。

3. 第三天，刷到新题的概率是 $ \frac{T - 2}{T} $，因为已经有两道题被刷过了。

   ...

4. 依此类推，直到第 N 天，刷到新题的概率是 $ \frac{T - N + 1}{T} $。

为了计算达到 N 种不同题目的期望天数，我们计算每天刷到新题所需的平均天数，然后将它们相加。第 i 天刷到新题的期望天数是该天刷到新题的概率的倒数，即 $ \frac{T}{T - i + 1} $。

因此，达到 N 种不同题目的期望天数 E 可以表示为：

$ E = \sum_{i=1}^{N} \frac{T}{T - i + 1} $

在这个例子中，将 T = 200 和 N = 100 代入上述公式，我们就可以计算出小明刷完100种不同题目的数学期望天数。