01背包
描述：
有n个物品，每个物品只有一件，第i个物品体积为vi，价格为ci。现在有一个体积为V的背包，请你从n件物品里选出若干件放进背包里，使得背包里的物品价值最大。
思路：
01背包的特点是：每种物品只有一件，可以选择放或不放。我们可以根据此特点进行动态规划（DP），设f[i][j]表示前i件物品放入一个容量为j的背包中可以获得的最大价值，则易得状态转移方程为dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-c[i]]+w[i])
(详解：在“将前i个物品放入容量为j的背包中”的这个子问题中，由题意，我们只有
放或不放两种选择，那么就转化为一个只与前i-1个物品有关的问题。如果不放第i件物品，那么就是“前i-1件物品放入容量为j的背包中”，最大价值为f[i-1][j]；如果放第i件物品，那么就是“前i-1件物品放入剩下的容量为j-c[i]的背包中”，最大价值为f[i-1][j-c[i]]+w[i])
由此可得01背包的最原始代码
coke
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1010
#define Elaina 0
int n,m,V,c[N],w[N],dp[N][N],ans=0;
void bag(){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=V;j++){
dp[i][j]=dp[i-1][j];
if(j>=c[i]){
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-c[i]]+w[i]);
}
}
}
}
int main(){
cin>>n>>V;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>c[i]>>w[i];
}
bag();
cout<<dp[n][V];
return Elaina;
}
coke
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1010
#define Elaina 0
int n,m,V,c[N],w[N],ans=0;
int dp[2][N];//滚动数组优化 只开2行数组
void bag(){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=V;j++){
dp[i&1][j]=dp[(i-1)&1][j];
if(j>=c[i]){
dp[i&1][j]=max(dp[i&1][j],dp[(i-1)&1][j-c[i]]+w[i]);
}
}
}
}
int main(){
cin>>n>>V;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>c[i]>>w[i];
}
bag();
cout<<dp[n&1][V];
return Elaina;
}
coke
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1010
#define Elaina 0
int n,m,V,c[N],w[N],ans;
int dp[N];//一维数组优化
void bag(){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=V;j>=c[i];j--){
dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);
}
}
}
int main(){
cin>>n>>V;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>c[i]>>w[i];
}
bag();
cout<<dp[V];
return Elaina;
}
完全背包
描述：
设有n种物品，每种物品有一个重量及一个价值。但每种物品的数量是无限的，同时有一个背包，最大载重量为M，今从n种物品中选取若干件(同一种物品可以多次选取)，使其重量的和小于等于M，而价值的和为最大。
思路：
完全背包的特点是：每种物品有无数件，可以选择放若干件或不放。
设k为取的物品的数量，依据01背包思路，易得状态转移方程为dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-k * c[i]]+k * w[i])
coke
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 10100
#define Elaina 0
int n,m,V,c[N],w[N],dp[N][N],ans=0;
void bag(){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=V;j++){
for(int k=0;k*c[i]<=j;k++){
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]);
}
}
}
}
int main(){
cin>>V>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>c[i]>>w[i];
}
bag();
cout<<dp[n][V];
return Elaina;
}
一维优化code
coke
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 10100
#define Elaina 0
int n,m,V,c[N],w[N],dp[N],ans=0;
void bag(){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=c[i];j<=V;j++){
dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);
}
}
}
int main(){
cin>>V>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>c[i]>>w[i];
}
bag();
cout<<dp[V];
return Elaina;
}
多重背包
描述:
有N种物品和一个容量为V的背包。第i ii种物品最多有p[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
思路：
这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有p[i]+1种策略：取0件，取1件……取p[i]件。令dp[i][j]表示前i种物品恰放入一个容量为j的背包的最大价值，则有状态转移方程：dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k * c[i]]+k * w[i])
coke
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 10100
#define Elaina 0
int n,m,V,c[N],w[N],dp[N][N],s[N];
void bag(){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=V;j++){
for(int k=0;k<=s[i]&&k*c[i]<=j;k++){
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]);
}
}
}
}
int main(){
cin>>n>>V;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>c[i]>>w[i]>>s[i];
}
bag();
cout<<dp[n][V];
return Elaina;
}
一维优化code
coke
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1010
#define Elaina 0
int n,m,V,c[N],w[N],dp[N],s[N];
void bag(){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=V;j>=0;j--){
for(int k=0;k<=s[i]&&k*c[i]<=j;k++){
dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*c[i]]+k*w[i]);
}
}
}
}
int main(){
cin>>n>>V;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>c[i]>>w[i]>>s[i];
}
bag();
cout<<dp[V];
return Elaina;
}