底和项
讨论底（floor，最大整数）函数和项（ceiling，最小整数）函数，对于所有实数 \(x\)，其定义如下：
\(\lfloor x \rfloor=\) 小于或等于 x 的最大整数；
\(\lceil x \rceil=\) 大于或等于 x 的最小整数。
接下来我们来了解底函数和项函数的图形，其在直线 \(f(x)=x\) 的上方和下方形成阶梯状的模式。
观察图形，底函数位于直线 \(f(x)=x\) 上或其下方，有 \(\lfloor x \rfloor≤x\)；类似地，有 \(\lceil x \rceil≥x\)，当然，这两函数在整数点的值相等：
\(\lfloor x \rfloor=x⇔x\) 是整数 \(⇔\lceil x \rceil=x\)。（用记号 \(⇔\) 表示“当且仅当”）
此外，当它们不相等时，项函数恰好比底函数大 \(1\)：
\(\lceil x \rceil-\lfloor x \rfloor=[x\) 不是整数 \(]\)。
如果将对角线向下平移一个单位，它就完全在底函数下方，就有 \(x-1＜\lfloor x \rfloor\)；类似地，有 \(x+1＞\lceil x \rceil\)，组合起来有：
\(x-1<\lfloor x \rfloor＜x＜\lceil x \rceil＜x+1\)。
最后，这些函数关于两个坐标轴互为反射：
\(\lfloor -x \rfloor=-\lceil x \rceil;\lceil -x \rceil=-\lfloor x \rfloor\)。
下面给出四条法则来说明这些事实：（\(x\) 为实数，\(n\) 为整数）
\(\lfloor x \rfloor=n⇔n≤x＜n+1\)；
\(\lfloor x \rfloor=n⇔x-1<n≤x\)；
\(\lceil x \rceil=n⇔n-1＜x≤n\)；
\(\lceil x \rceil=n⇔x≤n＜x+1\)。
有可能将一个整数移进或移出底或者项：
\(\lfloor x+n \rfloor=\lfloor x \rfloor+n\)。
但是一般不能将一个常数因子移出去：\(\lfloor nx \rfloor≠n\lfloor x \rfloor\)。
再给一些显然的法则：
\(x＜n⇔\lfloor x \rfloor＜n\)；
\(n＜x⇔n＜\lceil x \rceil\)；
\(x≤n⇔\lceil x \rceil≤n\)；
\(n≤x⇔n≤\lfloor x \rfloor\)。
\(x\) 和 \(\lfloor x \rfloor\) 之间的差称为 \(x\) 的分数部分（fractional part）。其记号：
\(\{x\}=x-\lfloor x \rfloor\)。
可以称 \(\lfloor x \rfloor\) 是 \(x\) 的整数部分。
下面推导一下 \(\lfloor x+y \rfloor\)，记 \(x=\lfloor x \rfloor+\{x\}\) 和 \(y=\lfloor y \rfloor+\{y\}\)，那么就有 \(\lfloor x+y \rfloor=\lfloor x \rfloor+\lfloor y \rfloor+\lfloor \{x\}+\{y\} \rfloor\)，又因为 \(0≤\{x\}+\{y\}＜2\)，那么会发现 \(\lfloor x+y \rfloor\) 要么等于 \(\lfloor x \rfloor+\lfloor y \rfloor\)；要么等于 \(\lfloor x \rfloor+\lfloor y \rfloor+1\)。
标签：,lfloor,lceil,函数,整数,rfloor,rceil From： https://www.cnblogs.com/Exotic-sum/p/18010769