树状数组总结
前言
树状数组是数据结构中的一股清流，代码简洁，思路清晰，又好理解 qwq。
前置芝士
lowbit：https://www.cnblogs.com/zhouruoheng/p/18003331
简介
树状数组是一种基于 lowbit 的用于维护 \(n\) 个数前缀和信息的数据结构。
支持：
- 快速求前缀和，复杂度为 \(O(\log{n})\)。
- 修改某一个数，复杂度为 \(O(\log{n})\)。
可以看下表：
| 数组 | 前缀和数组 | 树状数组 | 线段树 | |
|---|---|---|---|---|
| 单点修改 | \(O(1)\) | \(O(n)\) | \(O(\log{n})\) | \(O(\log{n})\) |
| 查询 | \(O(n)\) | \(O(1)\) | \(O(\log{n})\) | \(O(\log{n})\) |
树状数组将各操作优化成 \(O(\log{n})\)，且比线段树好写得多，能处理许多线段树能写的问题。
具体实现
存储
树状数组具体实现和 st 表差不多，尤其是区间划分。
首先，一个数可以用二进制表示：
\[n=2^{i_1}+2^{i_2}+ \dots +2^{i_k} \]设 \(i_1>i_2> \cdots >i_k\)，那么区间 \([1,n]\) 就可以被分成 \(\log{n}\) 即 \(k\) 个小区间：
\[[1,2^{i_1}] \]\[[2^{i_1}+1,2^{i_1}+2^{i_2}] \]\[[2^{i_1}+2^{i_2}+1,2^{i_1}+2^{i_2}+2^{i_3}] \]\[\dots \dots \]\[[2^{i_1}+2^{i_2}+ \dots +2^{i_{k-1}}+1,2^{i_1}+2^{i_2}+ \dots +2^{i_k}] \]长度分别为 \(2^{i_1}\)，\(2^{i_1}\)，\(\dots\) ，\(2^{i_k}\)。
它们有个共同特点：若区间右端点为 \(x\)，则区间长度就是 \(lowbit(x)\)。
那么设存有 \(n\) 个数的数组 \(a\)，用树状数组使用 \(c\) 来储存。
\[c_i=\sum_{j = i-lowbit(i)+1}^{i} a_j \]\(c_i\) 表示 \([i-lowbit(i)+1,i]\) 区间内的和，即将 \(i\) 作为右端点，长度为 \(lowbit(i)\) 的区间。数组 \(c\) 可以看作一个树形结构。
如下图：
查询
进行查询前缀和那么就要将原区间分解成若干小区间，就和分解正整数那样，然后相加。
在上面的处理出 \(c\) 数组的基础上，将 \(\log{n}\) 个区间和相加就能得到原数组的前缀和，例如求 \(a_1\) 到 \(a_i\) 的和 \(s_i\),直接将 \(c_i\) 加入答案，\(c_i\) 表示 \([i-lowbit(i)+1,i]\) 区间内的和，所以答案还需加上 \(a_1\) 到 \(a_{i-lowbit(i)}\) 的和，也就是 \(s_{i-lowbit(i)}\)，再加上 \(c_{i-lowbit(i)}\) 一直操作，最后到 \(s_0\)，就得到答案了。例如查询 \(s_7\)，\(s_7=c_7+c_6+c_4\)。
code:
int sum(int x)
{
int ans=0;
for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) ans+=c[i];
return ans;
}
修改
既然要进行单点修改，那么儿子一定会影响其父亲，因此我们必须修改所以有影响的点。由图可知，每个点都只有一个父亲，只需要一直往父亲那走就好了。那么父节点和子节点有什么关系呢？
显而易见，节点 \(x\) 的父节点是 \(x+lowbit(x)\)，若是有闲功夫证明的话也可以证明下。
所以只要一直往父节点去，然后进行修改就可以了。
// 将a[x]加上y
void add(int x,int y)
{
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) c[i]+=y;
}
初始化
有了修改操作后，那么就可以非常简单的进行初始化，将 \(a\) 数组中的值一次加入到树状数组中即可，复杂度为 \(O(n\log{n})\)。
void init()
{
for(int i=1;i<=n;i++) add(i,a[i]);
}
初始化还有一种更快的方法，时间复杂度为线性。先处理出前缀和，再直接给 \(c\) 数组赋值。不过一般情况下没有必要，用上面的就好。
int b[N];//a 的前缀和
void init()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
b[i]=b[i-1]+a[i];
c[i]=b[i]-b[i-lowbit(i)];//[i-lowbit(i)-1,i]
}
}
例1 P3374 【模板】树状数组 1
https://www.luogu.com.cn/problem/P3374
分析
将上面所讲的内容结合一下即可。
code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e5+5;
int n,m,a[N],c[N];
int lowbit(int x)
{
return x&-x;
}
void add(int x,int y)
{
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) c[i]+=y;
}
int sum(int x)
{
int ans=0;
for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) ans+=c[i];
return ans;
}
int main ()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
add(i,a[i]);
}
while(m--)
{
int op,x,y;
cin>>op>>x>>y;
if(op==1) add(x,y);
else cout<<sum(y)-sum(x-1)<<"\n";
}
return 0;
}
例2 P3368 【模板】树状数组 2
https://www.luogu.com.cn/problem/P3368
分析
区间修改和单点查询，就像用普通数组一样思考，显然，差分数组就能轻易做到区间修改。用树状数组维护差分数组，就能轻易做到区间修改和单点查询。
- 区间修改：例如将 \([l,r]\) 的值加上 \(x\)，只需要将 \(c_l\) 加上 \(x\)，\(c_{r+1}\) 减去 \(x\)。
- 单点查询：查询 \(a_x\) 就是查 \([1,x]\) 的和，直接求就好了
code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e5+5;
int n,m,a[N],c[N];
int lowbit(int x)
{
return x&-x;
}
void add(int x,int y)
{
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) c[i]+=y;
}
int sum(int x)
{
int ans=0;
for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) ans+=c[i];
return ans;
}
int main ()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],add(i,a[i]-a[i-1]);
while(m--)
{
int op,x,y,k;
cin>>op;
if(op==1)
{
cin>>x>>y>>k;
add(x,k);
add(y+1,-k);
}
else
{
cin>>x;
cout<<sum(x)<<"\n";
}
}
return 0;
}
例3
题目描述
既然已经知道了如何单点修改区间查询以及区间修改和单点查询，那么能不能做到区间修改区间查询呢？
分析
首先肯定是可以的，且复杂度能比数组更优，只需要稍微使用一点点技巧。还是维护差分数组，区间修改还是那样，主要思考区间查询。\(a\) 为原数组，\(b\) 为差分数组，则有：
\[a_1+a_2+a_3+\dots+a_x=\sum_{i = 1}^{x} a_i=\sum_{i = 1}^{x}\sum_{j = 1}^{i} b_j \]注意看 \(\sum_{i = 1}^{x}\sum_{j = 1}^{i} b_j\)，将其展开来：
\[\sum_{i = 1}^{x}\sum_{j = 1}^{i} b_j=b_1+(b_1+b_2)+(b_1+b_2+b_3)+\dots+(b_1+b_2+b_3+\dots+b_x) \]放到图中来看：
黑色数据相加就是所需，将其补全，整个表就是 \((x+1) \times (b_1+b_2+b_3+b_4+ \dots +b_x)\)，可以看作前缀和。红色的竖着来看，就是 \(b_1+2 \times b_2+3 \times b_3+ \dots +x \times b_x\)，其实也是个前缀和，\(i \times b_i\)。总的来说：
\[\sum_{i = 1}^{x}\sum_{j = 1}^{i} b_j=\sum_{i = 1}^{x} {b_i \times (x+1)}-\sum_{i = 1}^{x} {b_i \times i} \]也就是说我们要维护两个前缀和，\(b_i\) 和 \(b_i \times i\)。
code
code 不保证都正确。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
int n,m,a[N],c1[N],c2[N];
int lowbit(int x)
{
return x&-x;
}
void add(int c[],int x,int y)
{
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) c[i]+=y;
}
int sum(int c[],int x)
{
int ans=0;
for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) ans+=c[i];
return ans;
}
int query(int x)
{
return sum(c1,x)*(x+1)-sum(c2,x);
}
int main ()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int b=a[i]-a[i=1];
add(c1,i,b);
add(c2,i,b*i);
}
while(m--)
{
int op,l,r,x;
cin>>op>>l>>r;
if(op==1)
{
cin>>x;
add(c1,l,x),add(c1,r+1,-x);
add(c2,l,l*x),add(c2,r+1,(r+1)*(-x));
}
else cout<<query(r)-query(l-1)<<"\n";
}
return 0;
}
例4 P1908 逆序对
https://www.luogu.com.cn/problem/P1908
分析
首先数据跨度大，可以离散化，离散化后用树状数组维护权值数组。以离散化后的值为下标，存贮出现的数量。\(s_i\) 表示小于等于 \(i\) 的数的个数，离散化后的值为 \(k\)，从 \(1\) 到 \(n\) 遍历 \(a\) 数组，将 \(ans\) 加上 \(s_{k-1}\)， \(a_k\) 加上 \(1\)。
code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e5+5;
int n,m,a[N],b[N],c[N];
int lowbit(int x)
{
return x&-x;
}
void add(int x,int y)
{
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) c[i]+=y;
}
int sum(int x)
{
int ans=0;
for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) ans+=c[i];
return ans;
}
int main ()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],b[i]=a[i];
sort(b+1,b+n+1);
m=unique(b+1,b+n+1)-b-1;
ll ans=0;
for(int i=n;i;i--)
{
int k=lower_bound(b+1,b+m+1,a[i])-b;
ans+=sum(k-1);
add(k,1);
}
cout<<ans<<"\n";
return 0;
}
练习
tips
- 注意前缀和的范围，要不要开
long long。 - 树状数组维护的是前缀和数组，差分数组还是权值数组。