用两种方法对比较特殊的函数的单调性进行探究
前言
本博文就一个主题,探究函数 \(f(x)\)\(=\)\(\log_x{(x+1)}\)
由底数 \(x>0\) 且 \(x\neq 1\) 且 \(x+1>0\),可以得到该函数的定义域为 \((0,1)\cup(1,+\infty)\),用电脑验证单调递减区间是 \((0,1)\) 和 \((1,+\infty)\),如果不用电脑我们那么该如何探究呢?
复合函数法探究
将函数作变形,则 \(f(x)=\log_x{(x\cdot\cfrac{x+1}{x})}=\log_xx+\log_x\cfrac{x+1}{x}=1+\log_x{(1+\cfrac{1}{x})}\),
(1). 先在定义域 \((1,+\infty)\)上作探究:
令 \(u=1+\cfrac{1}{x}\),则内函数 \(u=1+\cfrac{1}{x}\)在 \((1,+\infty)\)上单调递减,外函数 \(f(x)=\log_xu\) 由于底数 \(x>1\)
故复合函数 \(y=\log_x{(1+\cfrac{1}{x})}\) 在 \((1,+\infty)\)上单调递减,则 \(y=1+\log_x{(1+\cfrac{1}{x})}\)在 \((1,+\infty)\)上单调递减,
即 \(f(x)=\log_x{(x+1)}\) 在 \((1,+\infty)\)上单调递减,和电脑的演示效果一致。应用
(2). 后在定义域 \((0,1)\)上作探究:
此时,内函数 \(u=1+\cfrac{1}{x}\)在 \((0,1)\)上单调递减,外函数 \(f(x)=\log_xu\) 由于底数 \(0<x<1\)
故复合函数 \(y=\log_x{(1+\cfrac{1}{x})}\) 在 \((0,1)\)上单调递增,则 \(y=1+\log_x{(1+\cfrac{1}{x})}\)在 \((0,1)\)上单调递增,
即 \(f(x)=\log_x{(x+1)}\) 在 \((0,1)\)上单调递增,但是和电脑的演示效果不一致。哪里出了问题呢?
\(f(x)=\log_x{(x+1)}=\cfrac{\lg(x+1)}{\lg x}\)
但 \(x\in(0,1)\) 时,\(y=\lg(x+1)>0\) 且单调递增,\(y=\lg x<0\)
导数法探究
\(f(x)=\log_x(x+1)=\cfrac{\ln(x+1)}{\ln{x}}\),该函数的定义域为 \((0,1)\cup(1,+\infty)\),
\(f'(x)=[\cfrac{\ln(x+1)}{\ln{x}}]'=\cfrac{x\ln{x}-(x+1)\cdot\ln(x+1)}{x\cdot(x+1)\ln^2{x}}\)
令 \(g(x)=x\cdot\ln x\),则 \(g'(x)=\ln x+1\),
令 \(g'(x)>0\),\(x\in(\cfrac{1}{e},1)\cup(1,+\infty)\),令 \(g'(x)<0\),\(x\in(0,\cfrac{1}{e})\),
即 \(g(x)\) 在 \((0,\cfrac{1}{e})\) 上单调递减,在 \((\cfrac{1}{e},+\infty)\)
又 \(g(\cfrac{1}{e})=-\cfrac{1}{e}\),故作出图象,如图所示
当 \(x\in(0,1)\) 时,\(g(x)-g(x+1)<0\),即 \(\cfrac{x\ln{x}-(x+1)\cdot\ln(x+1)}{x\cdot(x+1)\ln^2{x}}<0\),\(f'(x)<0\),故 \(f(x)\) 在 \((0,1)\)
当 \(x\in(1,+\infty)\) 时,\(g(x)-g(x+1)<0\),即 \(\cfrac{x\ln{x}-(x+1)\cdot\ln(x+1)}{x\cdot(x+1)\ln^2{x}}<0\),\(f'(x)<0\),故 \(f(x)\) 在 \((1,+\infty)\)
综上可知,函数的单调递减区间是 \((0,1)\) 和 \((1,+\infty)\)
相关链接
- 函数的单调性定义的延伸应用