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题目背景设定在一个具有物理意义的情境中，以便于理解和解答。

背景: 考虑一个三维空间中的温度场 (T(x, y, z))，其分布由下式给出：
[ T(x, y, z) = e^{-(x2 + y^2 + z^2)} ]

我们将探索该温度场在一定区域内的性质，包括温度梯度、流量、平均温度等。

小问一：温度梯度

计算温度场 (T(x, y, z)) 在点 (P(1, -1, 2)) 处的梯度 (\nabla T)。

小问二：流量

考虑通过曲面 (S)：(x^2 + y^2 + z^2 = 4)，向外的单位法向量方向的热流量。热流密度向量定义为 (-k\nabla T)，其中 (k) 是常数。计算通过 (S) 的总热流量。

小问三：平均温度

求球体 (B)：(x^2 + y^2 + z^2 \leq 1) 内的平均温度。

小问四：级数表示

假设在点 (Q(r, 0, 0)) 处，(r > 0)，温度场可以通过泰勒级数展开。写出 (T) 关于 (r) 在 (r = 0) 处的前三项非零泰勒级数展开式。

小问五：空间曲线

考虑空间曲线 (C)：(x = t), (y = t^2), (z = t^3)，其中 (t) 为参数。找到曲线 (C) 上的点，使得该点处的温度梯度与曲线 (C) 在该点的切线方向相同。

小问六：体积限制下的最高温度

对于任意体积为 (V) 的闭合区域，讨论如何确定该区域内可能达到的最高温度，并给出理由。

解答指南:

解答一：温度梯度

计算梯度 (\nabla T = \left( \frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y}, \frac{\partial T}{\partial z} \right))，然后代入点 (P(1, -1, 2))。

解答二：流量

使用高斯定理或直接对曲面积分来计算热流量。

解答三：平均温度

使用球体 (B) 上的三重积分来计算平均温度。

解答四：级数表示

利用泰勒级数的定义，计算 (T) 关于 (r) 的导数，并在 (r = 0) 处展开。

解答五：空间曲线

首先找到曲线 (C) 在任意点的切线方向，然后将其与温度梯度进行比较，解出满足条件的 (t) 值。

解答六：体积限制下的最高温度

分析温度分布函数 (T(x, y, z))，讨论其最大值的可能位置，并结合体积限制进行讨论。

这个问题集合了多元函数微积分、级数和空间解析几何的知识点，旨在深化对这些概念的理解并应用于具体问题。