二分查找

一、应用场景

​ 一个很常见的情景：猜数——猜大了就小一点，猜小了就大一点。我们在这个例子中发现，不停的缩小范围，舍弃（更贴切的说法是“排除”）不必要的搜查范围，这样有利于我们去快速查找。

​ 这种二分思想，我们也可应用到其他方面：比如开平方数之类——不停的从目标区间的两侧进行 “夹值” ，从而快速锁定目标；而对于整个区间可能没有目标值的情况，二分查找的算法思路最终会返回一个很相近的值，若此时并非目标值，那么我们可以认为整个区间内不存在目标值。

二、注意：

​ 1、二分查找先排序

​ 2、时间复杂度：O(log n)

三、代码实现—— 左闭右开

(一)、数值均不重复

int bsearch(int a[],int x,int y,int v){
    //m:获取当前所要判断的中间位置
    int m;
    /*
    x，y为两侧值，只有不重合时才能继续取中间位置值
    */
    while(x<y){
        
        //m:中间位置=左端点 加上 两侧端点到中心的距离
        //此处与(x+y)/2等价，
        //	但是为了防止溢出故采用此写法
        m = x + ((y-x)/2) ;
        
        //取值为目标值：返回位置值【数组下标】
        //取值大了：右边界移动到当前
        //取值小了：左边界移动到m+1
        if(a[m]==v) return m;
        else if(a[m]>v) y=m;
        else x=m+1;
    }
    return -1;
}

int main()
{
  int a[50]={1,3,2,5,4},n=5;
    
  //二分查找先排序  
  sort(a,a+n);
    
  //a:数组 0，n-1:查找范围 2：目的值
  cout<<bsearch(a,0,n-1,2)<<endl;

  return 0;
}

(二)、由此衍生出来的—— 上下界问题

​ 下界：v存在时，返回它出现的第一个位置

int lower_bound(int a[],int x,int y,int v){
    int m;
    while(x<y){
        m=x+(y-x)/2;
        //与不充分的情况类似
        //求下界：
        //取值==目标值：[x,m] 左边界可能还有，右边界移动到当前
        //取值>目标值：[x,m] 与相等情况一致
        //取值<目标值：[m+1，y] 连同m在内的左边都没有下界值，因此左边界移动到 m+1
        if(a[m]>=v) y=m;
        else x=m+1;
    }
    return x;
    
}

​ 上界：v存在时，返回它最后一个位置的下一个位置

int upper_bound(int a[],int x,int y,int v){
    int m;
    while(x<y){
        m=x+(y-x)/2;
        //求上界
        //小于等于目标值：[m+1,x] 因为是找 下一个，所以x=m+1
        //大于目标值：[x,m] 因为是找下一个， 所以y=m
        if(a[m]<=v) x=m+1;
        else y=m;
    }
    return x;
    //对于整个数据区间没有目标值的，会返回 “所应插入的下标值” ————假如在此处插入v,此序列仍旧有序
}

由此可以得出目标值的分布区间： [L，R)，是 左闭右开 的；

如果值 v 不存在，那么L=R，左闭右开，因此区间为空。

四、STL中的

二分可以用于计算一个数字在有序数组中位置。
STL中有lower_bound，upper_bound可供使用。

如果只需要判断是否出现，也可以使用binary_search