我们众所周知，多项式牛顿迭代法求 \(G(F(x))\equiv 0\pmod {x^n}\) 时出现了一个 \(G'(x)\)。然而怎么理解呢？今天遇到了这样一个题目：
\[xF^m(x)-F(x)+1\equiv 0\pmod {x^n} \]这个怎么牛顿迭代呢？你也许会构造 \(G(x)\)，但是发现乘起来的 \(x\) 很烦人。但是仔细一想：我们求 \(P(x)\) 的逆时怎么求的？
\[G(Q(x))=\dfrac{1}{Q(x)}-P(x)\equiv 0\pmod {x^n} \]\[Q(x)\equiv Q_0(x)-\dfrac{\dfrac{1}{Q(x)}-P(x)}{-\dfrac{1}{Q^2(x)}}\pmod {x^n} \]也就是我们的 \(G'(Q(x))=-\dfrac{1}{Q^2(x)}\)，注意到 \(P(x)\) 是无关的。
什么意思呢？说人话：\(G\) 函数的自变量是 \(Q(x)\)，在这里 \(Q(x)\) 就是一个进行代数运算的代数对象了，而 \(P(x)\) 是另一个代数对象，所以在这里当然是常数，被忽略了。那么同理，这里 \(x\) 也是另一个代数对象，所以当作一个系数看就好了。所以有：
\[F(x)=F_0(x)-\dfrac{xF_0^m(x)-F_0(x)+1}{mxF_0^{m-1}(x)-1} \]感觉之前的理解都是非常片面的，PWT 也被这个困惑了一会，可能是脑抽了。所以记录一下。
这就是说解多项式方程就有通用的解法了。
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