感觉之前学的群就是依托史啊，除了背到了 Polya 定理然后完全不会用之后没有别的东西乐。
抽象代数系统根本没有怎么接触，高等代数也是一样的。
重整一下群论。
接下来称 \(\Z/n\Z\) 是 \(\Z\cap [0,n-1]\)，加法是模 \(n\) 意义加法，
定义和概念
定义 1
交换图：一种以集合为点，映射是有向边，满足不同路径 \(P_1(u\to v),P_2(u\to v)\) 边上映射依次的复合等价。
定义 2
群 \(G\) 是带有二元运算（下面记为乘法）且满足以下性质的集合：
- 乘法具有结合律。
- 乘法在 \(G\) 内封闭。
- 乘法存在单位元 \(1\) 且 \(1\in G\)。
- \(\forall a\in G,a^{-1}\in G,\text{s.t. }ab=ba=1\)。
满足第一个性质叫半群，一二性质称为幺半群。
如果一个群 \(G\) 满足交换律，称为阿贝尔群。此时一般使用加法表示。
定理 1：
群的逆元唯一。容易证明。
定理 2：
若 \(ab=ac\)，则 \(b=c\)。显然。
例子：
设 \(\mu_n=\{\omega_n^k\mid k\in[0,n)\cap \Z\}\)，则 \((\mu_n,\times)\) 是阿贝尔群；\((\bigcup_{n\ge 1}\mu_n,\times)\) 是群。
设 \(M_n(F)\) 是 \(F\) 域内的 \(n\) 阶方阵，则 \((M_n,+)\) 是阿贝尔群，\((M_n,\times)\) 是群；设 \(GL_n(F)\) 是可逆方阵集合，则 \((GL_n,\times)\) 是群。
所有 \(n\) 阶置换 \(S_n\) 及其复合是群。这个在 OI 中用处尤其多。
定义 3：
若 \(H\in G\)，\((G,\times)\) 是群，\((H,\times)\) 也是群，则 \(H\) 是 \(G\) 子群，称为 \(H\le G\)。类似有真子群。
定理 3：
\(H\le G\iff \forall a,b\in H,ab^{-1}\in H\)。不难证明。
定义 4：
设 \(G_1,G_2\) 是群，那么 \(G_1\times G_2\) 是群，称为其直积。
新的运算为 \((a_1,b_1)\times (a_2,b_2)=(a_1\times a_2,b_1\times b_2)\)。
定义 5：
设 \(G_1,G_2\) 是群，且有映射 \(f\mapsto G_1\to G_2\) 满足：
\(f(gh)=f(g)f(h),\forall g,h\in G_1\)。
那么称 \(f\) 是一个群同态。若 \(f\) 是双射，则称 \(G_1\) 和 \(G_2\) 同构。记为 \(G_1\cong G_2\)。
定理 4：单位元映射到单位元，映射的逆元是逆元的映射。不难证明。
例子：\((\Q,+)\not\cong (\Q,\times)\)。
设存在 \(f\mapsto \Q\to \Q\)。则 \(\exists x\in \Q,f(x)=2\)。则 \(f(x/2+x/2)=f(x/2)^2=2\)。矛盾。
定义 6：
可以证明，对于群 \(G\)，包含 \(g\in G\) 的最小子群是 \(\left<g\right>=\{g^k\}\)。
\(\left<g\right >\) 称为循环群。
定理 5：\(n\) 阶循环群 \(G\) 和 \(\Z/n\Z\) 同构，无限循环群和 \(\Z\) 同构。构造 \(f\mapsto \Z/n\Z\to G,f(k)=g^k\) 即可。
定理 6：若 \(G\) 是 \(n\) 阶循环群，所有可以作为其生成元的是 \(\{g^k\mid (k,n)=1,k\in \Z\cap [0,n-1]\}\)。
如果 \(h=g^a\) 是生成元，\(\forall c,\exists b,h^{b}=g^c\)，则 \(ab\equiv 1\pmod n\)。则 \((a,n)=1\)。
如果 \((a,n)=1\)，容易发现 \(ax\equiv c\pmod n\) 有解，则 \(h=g^a\) 是生成元。
例子：设 \(a,b\in G,n=|\left<a\right>|,m=|\left<b\right>|,ab=ba,(n,m)=1\)，则 \(|\left<ab\right>|=nm\)。
证明：显然 \(k=|\left<ab\right>|,k\mid nm\)。设 \(k=uv,u\mid m,v\mid n,(u,v)=1\)。
那么应该有：
\[(ab)^{uv}=1\\ (a^v)^u(b^u)^v=1 \]根据中国剩余定理，\(\exists x,ux\equiv 1\pmod m,vx\equiv 1\pmod n\)。
那么同时 \(x\) 次幂。
\[(a^v)^{ux}(b^u)^{vx}=(a^{vx})^u(b^{ux})^v=a^ub^v=1\\ a^mb^{\frac {vm}u}=1\\ b^{\frac{vm}u}=1\\ n\mid \frac{vm}u \]显然成立当且仅当 \(n=v\)，同理 \(m=u\)。
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