相位调制的BB84协议

可以通过图1.4中的光学实验装置来理解几率幅的干涉。装置中的分束器（Splitter）为半透半反镜，其特点是对反射光会增加${ \frac{\pi }{2} }$相位、对透射光不改变其相位。路径2和路径3完全相等，不会产生相对相位。

按照传统意义上对几率的理解，光子从路径1入射，到达第一个分束器（Splitter），走光路2和光路3的几率各为50%。到达第二个分束器时，走光路4和光路5的几率同样各为50%，因此两个探测器探测到光子的几率也各为50%。

可是实验结果表明并非如此。下面我们按照量子几率幅来分析，我们将光子处于光路1的量子态记为${ \left | 1  \right \rangle  }$，它经过第一个分束器时发生改变：${ \left | 1  \right \rangle =\frac{\sqrt{2} }{2} \left ( e^{\frac{i\pi }{2} } \left | 2  \right \rangle + \left | 3  \right \rangle  \right ) }$，表明它处于光路2（量子态记为${ \left | 2  \right \rangle  }$）和处于光路3（量子态记为${ \left | 3  \right \rangle  }$）的几率各为50%。到达第二个分束器时，会有这样的改变：${ \left | 2  \right \rangle =\frac{\sqrt{2} }{2} \left ( e^{\frac{i\pi }{2} } \left | 5  \right \rangle + \left | 4  \right \rangle  \right )  }$、${ \left | 3  \right \rangle =\frac{\sqrt{2} }{2} \left ( e^{\frac{i\pi }{2} } \left | 4  \right \rangle + \left | 5  \right \rangle  \right )  }$，这个结果带入到${ \left | 1  \right \rangle  }$的表达式，可以得到${ \left | 1  \right \rangle  }$最终变为：${ \left | 1  \right \rangle = e^{\frac{i\pi }{2} } \left | 4  \right \rangle  }$。即经过2次分束器后，光子只可能走光路4。实验结果证明了基于量子理论的分析是正确的，由于受到相位的干涉的影响，导致光子处于光路5的几率从50%变为0，这就是单光子的相位所体现的意义。

利用调相器通过改变光程来改变光子的相位，常用的电控调相器通常使用${ \mathrm{ LiNbO_{3} }  }$晶体波导调相器实现。他的原理是：正负电极上所加电压在${ \mathrm{ LiNbO_{3} }  }$晶体内部形成电场，改变晶体感应主轴上的折射率。具有一定偏振的光波通过光波导在${ \mathrm{ LiNbO_{3} }  }$晶体中传播时，其平行于感应主轴上的偏振分量会受到折射率改变的影响，最终造成这部分分量岀射晶体时光程的改变，从而实现相位调制的目的。于是我们有了下图所示的实验装置，用它可以实现简单的量子密钥分配系统。图中PM1和PM2代表两个调相器，分别位于发送者Alice端和接收者Bob端。

按照BB84协议，Alice需要四个相位，它控制PM1，分别产生0、${ \pi }$、${ \frac{\pi }{2} }$、${ \frac{3\pi }{2} }$四种相位，对应${ \left | \rightarrow  \right \rangle  }$、${ \left | \uparrow  \right \rangle  }$、${ \left | \nearrow  \right \rangle  }$、${ \left | \nwarrow  \right \rangle  }$四个量子态。Bob 需要选择2组测量基，他控制PM2，产生0、${ \frac{\pi }{2} }$两种相位，对应＋基和×基。

下表为Alice和Bob调制不同的相位时，路径4和路径5上的探测器是否探测到光子的情况。Alice调制的四个相位中，0相位和${ \pi }$相位构成一组正交基，Bob端的对应的测量基是0相位，这种情况下他可以确定地知道Alice发送的量子态，拖Alice发送的是0相位，则只有探测器4探测到光子，若Alice发送的是${ \pi }$相位，则只有探测器5探测到光子。若Bob选择${ \frac{\pi }{2} }$相位作为他的测量基，则不论Alice发送0相位还是${ \pi }$相位，两个探测器都各有50%的几率会探测到光子，也就无法准确判断Alice的量子态。${ \frac{\pi }{2} }$相位和${ \frac{ 3\pi }{2} }$相位构成的另一组正交基也是同样的情况，这样就能满足BB84协议的要求了。

利用图1.5所示的装置，Alice和Bob就可以进行BB84协议的量子密钥分配了。首先Alice随机地选择1个相位对光子进行调制，Bob同样随机地选择1个相位对光子进行调制，然后在Bob探测光子并记录探测结果，接着 Bob利用公开信道告诉Alice每次选择的测量基，Alice再告诉他哪些是测量基是正确的，提取相应的结果，就得到了密钥，接着就可以利用公开信道进行误码率估计检查此次传输是否安全、纠错和保密放大了。

早期的相位编码系统就是这样实现的，但是它并不适用于实际的使用。因为一旦进行长距离传输，那么很难保证路径2和路径3的光程一样长。对于1550nm的光纤通信波段来说，两条光路之间小到1.55um的光程差，就能造成2π相位差。这就导致Alice调制出的相位还要叠加一个非理想光路造成的相位差。这必将造成Bob端错误的探测结果。为了解决这个问题，人们提出了一种新的结构，只需要一条光纤传输就能传输BB84协议所需的量子态。

注意：本文摘自一篇博士论文的草稿。