设q是一个素数的幂次方，n >1是一个整数，并且 n 与q 互素，即gcd(n, q) = 1.设q在群
中的阶为r，即
，设
是一个含有
个元素的有限域，
是
的子域，即
再设
是
中的一个n阶元素，实际上，如果
是
的一个本原元，则
就是
中的一个n阶元素设
在
上的极小多项式为
因为q在群
中阶为r，所以定理3.19和定理 3.20 知，
，并且
是
的r个互不相同的根。不难看出，
是
在
上的一组基。事实上，假设
线性相关，则一定存在不全为零的
，使得则
并且
.由于
, 这与
是
上的以
为根并且次数最低的多项式相矛盾，所以
一定线性无关，另外，根据定理4.4知，
是
上的一个
维向量空间。因此，
一定是
在
上的一组基。由于
可以看成是
，上的一个
维向量空间，并且
是
在
上的一组基，所以
中的任意一个元素都可以唯一地表示为
的一个线性组合.对于
，设其中
. 于是，
与
中的列向量
之间就确定了一一对应的关系
设
是一个正整数，并且
.令显然，
是
上的一个
阶的矩阵。当然，我们也可以将
看成是
上的一个
阶的矩阵，一般而言，
. 故
中所有满足
的向量
构成
的一个线性子空间.