标签：可微 处可微 函数 原点 代入 问题 极限
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原点可微问题
-f(0%2C0)%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%7D%20)
=
(1)是函数%20)
在%20)
点可微(1-1)的充分条件但非必要条件
- 考虑到
%7D%20)
=
(2),由式(1)可知,-f(0%2C0)%7D%7B%5Crho%7D%20)
=
(3),由无穷小的阶的定义可知,-f(0%2C0)%20)
=%20)
(4),等号左边是
的高阶无穷小 - 由点处可微的定义:
-f(x_0%2Cy_0)%20)
=%20)
(5),其中
,从而公式可以改写为:=%20)
(6)
- 比较式(4,6)可以发现式(4)是式(6)中
(6-0)的情形,因此由(1)可以推出函数%20)
在(0,0)处可微(6-1),并且%20)
=%20)
=(6-2)
- 反之,若有(6-1),则有式(6)成立,但是不一定有式(4)成立,也不一定有(1)成立
- 例如取函数
%20)
=
,该函数在%20)
点处可微(满足充分条件),而该函数代入式(1),可得
,这个极限不存在,例如沿着
时,就可以发现极限式等于
不存在(因为可能取
,不唯一,就不存在),自然就不满足式(1)
- 若(6-1)的基础上再附加条件==,则能推出(1),因为
%20)
,%20)
,将(1)代入(6),即得(4),即有(1),这就构成了充要条件 - 即当(6-2)时,(6)和(1)是等价的
- 拓展:若式(1)改为
-f(0%2C0)%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%7D%3Da%5Cneq%7B0%7D%20)
(8),则没有(4),并且可以得出在点处不可微(9);另一方面,由(9)推不出(8)
例
- 可以用夹逼的方式求:
=
,而
所以
,所以
=0 - 从量级上粗略判断:
和
分别相当于
次和1次项,因此分子的阶更高,极限结果为0 - 而
是有界函数,从而
=0
例
=-f(0%2C0)%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%7D%20)
=%5Csqrt%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%7D%20)
,简便判断分子分母都是3次项的量级(同量级),因此极限不存在(可取路径
判断)- 而
%20)
==,而不存在,所以在(0,0)处不可微
- 求
%20)
,可以先代入后求对偏导,即对%20)
对求导 - 而=
=
,说明是个恒0常数函数,类似的,%20)
也是恒0常数函数 - 所以
%20)
=)
= %20)
=
=
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函数,
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代入,
问题,
极限
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处可微
,其中
=
=
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