图像处理—小波变换

时间：2023-12-25 10:05:19浏览次数：37

小波变换

一维小波变换

因为存在 $图像处理—小波变换_图像处理$ ，所以存在 $图像处理—小波变换_小波变换_02$ 可以在子空间 $图像处理—小波变换_小波变换_03$ 中用尺度函数展开和在子空间 $图像处理—小波变换_图像处理_04$ 中用某些数量的小波函数展开来表示。即

$图像处理—小波变换_Big_05$
其中 $图像处理—小波变换_Big_06$ 是任意的开始尺度， $图像处理—小波变换_小波变换_07$ 通常称为近似和或尺度系数， $图像处理—小波变换_小波变换_08$ 称为细节和或小波系数。

由于双正交的性质可得
$图像处理—小波变换_小波变换_09$
转换成离散形式可得
$图像处理—小波变换_小波变换_10$
其中 $图像处理—小波变换_小波变换_11$ 和 $图像处理—小波变换_图像处理_12$ 是基函数 $图像处理—小波变换_Big_13$ 和 $图像处理—小波变换_图像处理_14$

由此可得
$图像处理—小波变换_Big_15$
通常 $图像处理—小波变换_小波变换_16$ ， $图像处理—小波变换_小波变换_17$ 为2 的幂(即 $图像处理—小波变换_小波变换_18$

而对于哈尔小波，离散的尺度和小波函数与 $图像处理—小波变换_小波变换_19$ 哈尔矩阵的行相对应，其中最小尺度为0，最大尺度为 $图像处理—小波变换_Big_20$

快速小波变换

对于图像的多分辨率变换
$图像处理—小波变换_小波变换_21$
并进行尺度化与平移操作，可得
$图像处理—小波变换_图像处理_22$
令 $图像处理—小波变换_Big_23$ ，可得
$图像处理—小波变换_Big_24$
同理对于小波函数存在
$图像处理—小波变换_小波变换_25$
其中将 $图像处理—小波变换_图像处理_26$ 代入 $图像处理—小波变换_图像处理_27$ 可得
$图像处理—小波变换_Big_28$
又因为 $图像处理—小波变换_小波变换_29$

所以存在
$图像处理—小波变换_Big_30$
同理可得
$图像处理—小波变换_小波变换_31$
即
$图像处理—小波变换_小波变换_32$
上式揭示了相邻尺度直接的离散小波变换(DWT)系数之间的关系，可以认为是 $图像处理—小波变换_Big_33$ 分别与 $图像处理—小波变换_Big_34$ 进行卷积操作并下采样得到的，于是可以写成
$图像处理—小波变换_小波变换_35$
即如下图所示的结构

图像处理—小波变换_小波变换_36

同时可以经过多次迭代分解，如下图是二级分解的结构

图像处理—小波变换_小波变换_37

二维小波变换

为了将小波变换扩展到适应二维的图像，由此定义，存在尺度函数
$图像处理—小波变换_图像处理_38$
以及三个对方向敏感的小波函数
$图像处理—小波变换_小波变换_39$
以上三个小波函数分别对应图像沿着列方向的变换、图像沿着行方向的变换、图像沿着对角线方向的变换

并存在
$图像处理—小波变换_Big_40$
并可以推导出离散形式的小波变换
$图像处理—小波变换_图像处理_41$
其中 $图像处理—小波变换_Big_06$ 表示任意的开始尺度， $图像处理—小波变换_小波变换_43$ 表示在尺度为 $图像处理—小波变换_Big_06$ 时的近似， $图像处理—小波变换_小波变换_45$ 表示对尺度为 $图像处理—小波变换_Big_06$ 时的水平、垂直与对角线方向的细节

当 $图像处理—小波变换_图像处理_47$ 时，存在离散小波逆变换
$图像处理—小波变换_小波变换_48$
同理可以得到

小波分解过程如图所示

图像处理—小波变换_Big_49

小波逆变换过程如图所示

图像处理—小波变换_图像处理_50

其小波分解的结果如图所示

图像处理—小波变换_图像处理_51

标签：波函数,变换,尺度,小波,离散,图像处理,图像
From： https://blog.51cto.com/u_14189203/8963541

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