从零开始学小波变换

小波变换

哈尔变换

对于哈尔变换可以用如下矩阵表示:

其中，为一个大小的图像矩阵，为一个大小的哈尔变换矩阵，一个大小的图像变换的结果

对于哈尔变换矩阵包含了哈尔基函数，其中代表的第行，其中满足，其中。

其中哈尔基函数为

哈尔变换矩阵的第 行包含了元素 ,其中

即

设N=4，则

那么4×4 变换矩阵为

可知可以确定的大小，既可以确定非零值的位置范围的长度

尺度函数

设存在函数

对所有的, 和 都成立。其中 决定了 沿轴的位置， 决定了 的宽度,即它沿 轴宽或窄。项 2控制函数的幅度。由于 的形状随 发生变化，所以 称为尺度函数。

设存在一个特定的值，则可以得到集合是集合的一个子集。其中可以把由张成的向量空间定义为，即

若在张成的空间中，则可以表示为

更一般地，对于任何，我们将上跨越的子空间表示为

由于决定了的宽或窄，即可以在x轴上表达更精细的特征，所以存在高分辨率的图像可以表示低分辨率的图像，即存在

其中

因为，所以可得

因为低分辨率的图像可以由高分辨率的图像所表示，所以存在

若，则可以写成

该递归等式中的系数 称为尺度函数系数；

其中简单尺度函数应符合多分辨率分析的四个条件

1. **MRA要求1：**其中对于不同整数平移的简单尺度函数应是正交的
2. **MRA要求2：**低尺度函数跨越的子空间应嵌入到高尺度跨越的子空间内
3. **MRA要求3：**唯一对于所有的通用的函数是
4. **MRA要求4：**任何函数都可以任意精度表示

小波函数

定义小波函数为与之差，其中

其中尺度函数与小波函数的关系如下图所示

其中，所以存在

其中， 表示空间的并集(类似于集合的并集)。 中的正交补集是, 且中的所有成员对于中的所有成员都正交。因此，

对所有适当的都成立。

索引可以将所有可度量的、平方可积的函数空间表示为

上述表达排除了尺度函数，仅采用小波进行表示

于是存在

其中是任意开始尺度。

因为小波空间位于相邻的较高分辨率的尺度空间中，即，所以任何小波函数可以使用尺度函数表示，即

其中被称为小波函数系数

因为整数小波彼此正交，且与他们的互补尺度函数正交，所以存在

一维小波变换

因为存在，所以存在可以在子空间中用尺度函数展开和在子空间中用某些数量的小波函数展开来表示。即

其中 是任意的开始尺度，通常称为近似和或尺度系数，称为细节和或小波系数。

由于双正交的性质可得

转换成离散形式可得

其中 和是基函数 和

由此可得

通常，为2 的幂(即

而对于哈尔小波，离散的尺度和小波函数与哈尔矩阵的行相对应，其中最小尺度为0，最大尺度为

快速小波变换

对于图像的多分辨率变换

并进行尺度化与平移操作，可得

令，可得

同理对于小波函数存在

其中将代入可得

又因为

所以存在

同理可得

即

上式揭示了相邻尺度直接的离散小波变换(DWT)系数之间的关系，可以认为是分别与进行卷积操作并下采样得到的，于是可以写成

即如下图所示的结构

同时可以经过多次迭代分解，如下图是二级分解的结构

二维小波变换

为了将小波变换扩展到适应二维的图像，由此定义，存在尺度函数

以及三个对方向敏感的小波函数

以上三个小波函数分别对应图像沿着列方向的变换、图像沿着行方向的变换、图像沿着对角线方向的变换

并存在

并可以推导出离散形式的小波变换

其中表示任意的开始尺度，表示在尺度为时的近似，表示对尺度为时的水平、垂直与对角线方向的细节

当时，存在离散小波逆变换

同理可以得到

小波分解过程如图所示

小波逆变换过程如图所示

其小波分解的结果如图所示