场上疯狂想求任意解+改动解至最优。。想不下去的时候一定要再读一遍题跳出来啊。
限制每一行每一列的 \(1\) 的个数,这很匹配啊!!
考虑网络流,左侧 \(n\) 个节点连流量 \(a_i\),右侧 \(m\) 个节点连流量 \(b_i\)。
对于原矩阵中为 \(0\) 的项 \((i,j)\),若新矩阵中为 \(0\) 则流量为 \(0\)、费用为 \(0\),若为 \(1\) 则流量为 \(1\)、费用为 \(1\),故可以从 \(a_i\) 向 \(b_j\) 连边权为 \(1\)、费用为 \(1\) 的边;对于原矩阵中为 \(1\) 的项 \((i,j)\),若新矩阵中为 \(0\) 则流量为 \(0\)、费用为 \(1\),若为 \(1\) 则流量为 \(1\)、费用为 \(0\),故可以默认花费一点费用,从 \(a_i\) 向 \(b_j\) 连边权为 \(1\)、费用为 \(-1\) 的边。由于所有环一定包含终点,故负权边不会造成影响。
之后跑 dinic 即可。
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