今天一看那个高中楼都被围起来了，估计快学考了
为啥和同学打招呼都没人理我，哦原来因为我是菜√，太菜了导致的
推歌
虚拟歌手贺岁纪《万物有灵》
歌词
似一捧细泉的奔逃跃过石缝岩角
降落到我怀抱
待天地再静默一秒
这蓬勃的心跳
就将划开晨晓
我是亿万株花草 破土时的微渺
渴盼你能听到
有多少 不经意的喧嚣 穿越世界的浩邈
交织成我歌谣 在你耳畔停靠
生命的祈祷 是风吹拂过树梢 万物曾来过的记号
俯瞰河流蜿蜒盘绕
滋养荒瘠山坳
湿润了你眼角
一座森林突然繁茂
满目花开枝摇
等谁寻来落脚
我 是远行的归鸟 那啾啾的鸣叫
渴盼你能听到
有多少 不经意的喧嚣 与生俱来就美好
纵使烟火零凋 都是温柔语调
生命的祈祷 是风吹拂过树梢 万物曾来过的记号
有多少 不经意的喧嚣 穿越世界的浩邈
交织成我歌谣 在你耳畔停靠
生命的祈祷 是风吹拂过树梢 万物曾来过的记号
多重集的排列
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定理1:
设集合\(S\)为有\(k\)种不同类型对象的多重集合，每种对象都有无限个，那么\(S\)的\(r\)排列数目为\(k^r\)
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证明：
因为每种对象都有无限个，所以每一位的选择都和前面的选择无关，根据乘法原理可以轻易得到\(S\)的\(r\)排列数目为\(k^r\)
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定理2:
对于多重集合\(S=\{{n_1\times a_1,n_2\times a_2,\cdots,n_k\times a_k}\}\)，\(S\)的全排列个数为
\[\frac{n!}{n_1!\times n_2!\times \cdots \times n_k!} \]-
证明
放置\(a_1\)时，一共有\(n\)个位置，也就是在\(n\)个位置中放置\(n_1\)个数，也就是\(\large \binom{n}{n_1}\)
放置\(a_2\)时，还剩余\(n-n_1\)个位置，放置\(n_2\)个数，也就是
\(\large \binom{n-n_1}{n_2}\)以此类推
在最后根据乘法原理相乘可以得到
\[ \begin{aligned} &\ \ \ \binom{n}{n_1}\binom{n-n_1}{n_2}\binom{n-n_1-n_2}{n_3}\cdots\binom{n-n_1-n_2-n_3-\cdots-n_{k-1}}{n_k}\\ &=\frac{n!}{n_1!\times{(n-n_1)!}}\times\frac{(n-n_1)!}{n_2!\times{(n-n_1-n_2)!}}\times\frac{(n-n_1-n_2)!}{n_3!\times{(n-n_1-n_2-n_3)!}}\times\cdots \times \frac{(n-n_1-n_2-\cdots-n_{k-1})!}{n_k!\times{(n-n_1-n_2-n_3-\cdots-n_k)!}}\\ &=\frac{n!}{n_1!\times n_2!\times n_3! \times \cdots \times n_k!} \end{aligned}\]证毕
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根据这个定理还可以得到一个结论
对于\(S=\{a_1\times n_1,a_2\times n_2\}\)，S的全排列为\(\binom{n}{n_1}\)
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证明：
\[\begin{aligned} \frac{n!}{n_1!n_2!}&=\frac{n!}{n_1!\times{(n-n_1)}} \\&=\binom{n}{n_1} \end{aligned} \]
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定理3
把\(n\)个对象的集合\(S\)划分成\(k\)个序列且第一个序列有\(n_1\)个对象,第二个有\(n_2\)个对象\(\cdots\)第\(k\)个有\(n_k\)个对象且\(n=n_1+n_2+\cdots+n_k\)那么划分方法个数为
\[\frac{n!}{n_1!\ n_2!\ n_3!\cdots n_k!} \]如果序列没有编号且\(n_1=n_2=n_3\cdots=n_k\)则个数为
\[\frac{n!}{k!\ n_1!\ n_2!\ n_3!\cdots n_k!} \]-
证明：
对于前者，证明类似定理二，选择的方法数同样为$$\binom{n}{n_1}\binom{n-n_1}{n_2}\binom{n-n_1-n_2}{n_3}\cdots\binom{n-n_1-n_2-n_3-\cdots-n_{k-1}}{n_k}$$
对于后者，同前面的例子一样，把这些对象分配到\(k\)个无编号序列中有\(k!\)种方法为之编号，使用除法原理可得出划分个数为
\[\frac{n!}{k!\ n_1!\ n_2!\ n_3!\cdots n_k!} \]
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错位排列
错位排列是没有任何元素出现在其有序位置的排列。
对于 \(1\sim n\) 的排列 \(S\) ，如果满足 \(S_i\neq i\) ，则称 \(S\) 是 \(n\) 的错位排列。
递推公式为：
\[D_n=(n−1)(D_{n−1}+D_{n−2})\tag{1} \]\[D_n=nD_{n−1}+(-1)^n\tag{2} \]-
证明：
先把 \(n\) 放在第 \(n\) 位，对于一个有 \(n−1\) 个数的排列，我们分情况讨论：-
满足要求：随便用一个数和 \(n\) 交换，为 \((n−1)D_{n−1}\)
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有且只有一位 \(k(1≤k≤n−1)\) 不满足：把 \(k\) 和 \(n\) 交换，为 \((n−1)D_{n−2}\)
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有 \(k(2≤k≤n−1)\) 位不满足：不可能一次换完，应该已经换完了
合并一下，总方案数为：
\[D_n=(n−1)(D_{n−1}+D_{n−2}) \] -