第5章. 二叉树

二叉树

一、树的基本概念

• 节点、根节点、父节点、子节点、兄弟节点
• 一棵树可以没有任何节点，称为空树
• 一棵树可以只有一个节点，也就是只有根节点
• 子树、左子树、右子树
• 节点的度：子树的个数
• 树的度：所有节点度中的最大值
• 叶子节点：度为0的节点
• 非叶子节点：度不为0的节点
• 层数：根节点在第1层，根节点的子节点在第二层，依次类推(有些根节点从第0层开始算)
• 节点的深度：从根节点到当前节点的唯一路径上的节点总数
• 节点的高度：从当前节点到最远叶子节点的路径上的节点总数
• 树的深度：所有节点深度中的最大值
• 树的高度：所有节点高度中的最大值
• 树的深度等于树的高度

二、有序树、无序数、森林

• 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系
• 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，也称为"自由树"
• 森林：由m(m >-= 0)棵互不相交的树组成的集合

三、二叉树(Binary Tree)(重要)

这些都是二叉树：

3.1 二叉树的特点

• 每个节点的度最大为2(最多拥有2棵子树) (可以为0或1或2)
• 左子树和右子树是有顺序的
• 即使某节点只有一颗子树，也要区分左右子树
• 二叉树是有序树

3.2 二叉树的性质

• 非空二叉树的第i层，最多有2^i-1个节点(i >= 1)
• 在高度为h的二叉树上最多有2^h - 1个节点(h >= 1) (等比数列求和)
• 对于任何一颗非空二叉树，如果叶子节点的个数为n₀，度为2的节点的个数为n₂，则
• 假设度为1的节点的个数为n₁，那么二叉树的节点总数n = n₀ + n₁+ n₂
• 二叉树的边数T = n₁ + 2*n₂ = n - 1 = n₀ + n₁ + n₂ - 1
• 得出n₀ = n₂ + 1

四、真二叉树(Proper Binary Tree)

真二叉树：所有节点的度都要么为0，要么为2

五、满二叉树(Full Binary Tree)

满二叉树：最后一层节点的度都为0，其他节点的度都为2。

满二叉树：所有节点的度要么为0，要么为2，且所有的叶子节点都在最后一层。

• 在同样高度的二叉树中，满二叉树的叶子节点数量最多，总节点树量最多

• 满二叉树一定是真二叉树，真二叉树不一定是满二叉树

• 假设满二叉树的高度为h(h >= 1)，那么

第1层节点数量   1
第2层节点数量   2
第3层节点数量   4
第4层节点数量	  8
...
第i层节点数量   2^(i - 1)
总节点数量  1 + 2 + 4 + 8 + ... 等比数列求和

• 第i层的节点数量：2^i-1
• 叶子节点数量：2^h-1
• 总结点数量：n = 2^h - 1，所以h = log₂⁽ⁿ⁺¹⁾

六、完全二叉树(Complete Binary Tree)(重要)

完全二叉树：叶子节点只会出现在最后2层，且最后1层的叶子结点都靠左对齐。

完全二叉树：对节点从上至下、左至右开始编号，其所有编号都能与相同高度的满二叉树中的编号对应

6.1 完全二叉树的特点

• 叶子节点只会出现在最后2层，最后一层的叶子节点都靠左对齐
• 完全二叉树从根节点至倒数第2层是一颗满二叉树
• 满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树
• 度为1的节点只有左子树
• 度为1的节点要么是0个，要么是1个
• 同样节点数量的二叉树，完全二叉树的高度最小

6.2 完全二叉树的性质