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散度
通俗考虑：散度（ \(\mathrm{div}\) ），刻画了一个区域 \(D\) 内东西向外逃逸的趋势。对于一个表面张力不足以支撑它维持现有形状的水滴，它会有一个向外散开的趋势，此时它速度场的散度就是大于零的；反之对一个正在遇冷收缩的金属块而言，它的形状改变趋势是向内收缩，此时它速度场的散度是小于零的。
数学考虑：散度（ \(\mathrm{div}\) ），描述了向量场中某一空间点（显然这里接受欧拉确定的对象）的发散程度。当然对一个点而言不存在发散的说法，发散应当是远离某一个对象的趋势而一维意义下甚至不允许出现二元，所以对它的定义需要升维。
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用一个微小控制体来包裹住这个点，再考虑这个控制体中“所有点”在向量场中该处向量的方向乘上它们的权重（这通常就是该处向量的大小）然后积分求和通过结果的正负性来对它们“发散”程度作出定性（当然此时已经定量）判断。
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通过使这个微小控制体的体积趋近于 \(0\) 来保证足够近似，即在微分意义下使得微小控制体内仅含一个待求的点。
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由向量场函数的连续性，在微分意义下微小控制体内所有点对应的向量应当是连续变化的，所以在体积足够小的情况下可以用均值直接对其求平均。其正确性由命题“体积内的点的个数一定”给出。
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那么此时的考虑改写为数学语言：
a. 定义通量 \(\Phi\) 为有向曲面 \(S\) 上每一点的场向量在其法向量上的分量积分，即 \(\Phi=\iint_S\mathbf F\cdot\mathbf n\mathrm dS\) ，其中 \(\mathbf F\) 为向量场函数， \(\mathrm dS\) 为曲面面积微元， \(\mathbf n\) 为 \(\mathrm dS\) 的面法向量（规定对封闭曲面向外为正）。很显然通量是一个标量。
b. 对一个三维区域 \(\delta V\) 及其边界 \(S\) 及考察点 \(x\) ，定义散度 \(\mathrm {div} \mathbf F(x)=\lim_{\delta V\to \{x\}}\frac{\Phi(S)}{|\delta V|}\) 。由于通量是标量，散度也是一个标量。
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旋度
通俗考虑：旋度（ \(\mathbf {curl}\) ），刻画了一个区域 \(D\) 内东西变化方向的趋势。至于“旋”的名称应当是由于最直观的例子是旋度通常用于速度场的变换，而在速度场意义下旋度就是绕某一个中心运动的方向。
数学考虑：旋度（ \(\mathbf {curl}\) ），描述了向量场中某一空间点的旋转程度。同样对一个点无法进行旋转考虑，所以类比散度进行升维。
此时的数学语言：
a. 定义环量 \(\mathrm{Cric}\) 为向量场在有向闭合曲线 \(\sum\) 上的环路积分，即 \(\mathrm{Circ}=\oint_\sum\mathbf F\mathrm d\mathbf l\) ，其中 \(\mathbf F\) 为向量场函数， \(\mathrm d\mathbf l\) 为路径微元。环量是一个矢量。
b. 对一个二维曲面 \(\delta S\) 及考察点 \(x\) ，定义旋度 \(\mathbf {curlF}(x)\cdot\mathbf n=\lim_{\delta S\to {x}}\frac{\mathrm{Circ(\sum)}}{|\delta S|}\) ，其中 \(\mathbf n\) 为选取 \(\delta S\) 的法向量，这保证了 \(\mathbf{curl}\) 的矢量性。
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\(Green\) 公式
\(Green\) 公式： \(\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm dx\mathrm dy=\oint_{\partial D^+}P\mathrm dx+Q\mathrm dy\) 。（证明及考虑见乱七八糟 18.）