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常用的距离变换
- 闵可夫斯基距离/明氏距离（Minkowski Distance）
\[\left(\sum_{i=1}^n|x_i-y_i|^p\right)^{1/p}
\]
- 曼哈顿距离/城市街区距离（Manhattan Distance）
\[d(x,y)=\sum_{i=1}^n|x_i-y_i|
\]
\[d(x,y)=\sqrt{\sum_n^{i=1}(x_i-y_j)^2}
\]
- 切比雪夫距离（Chebyshev distance）
\[d(x,y)=\max_i(|x_i-y_i|)
\]
\[\mathrm d_{\mathrm CD}\left(\mathrm S_1,\mathrm S_2\right)=\frac{1}{\mathrm S_1}\sum_{\mathrm x\in\mathrm S_1}\min_{\mathrm y\in\mathrm S_2}||\mathrm x-\mathrm y||_2^2+\frac{1}{\mathrm S_2}\sum_{\mathrm y\in\mathrm S_2}\min_{\mathrm x\in\mathrm S_1}||\mathrm x-\mathrm y||_2^2
\]
- 马氏距离（Mahalanobis distance）
\[D_M(x,y)=\sqrt{(x-y)^T\Sigma^{-1}(x-y)}
\]
- 汉明距离（Hamming distance）
二进制对应位置不相同的个数。
- 杰卡德距离（Jaccard Distance）
衡量两个集合的差异性。
\[d(A,B)=1-J(A,B)=\frac{|A\cup B|-|A\cap B|}{|A\cup B|}
\]
- 豪斯多夫距离（Hausdorff Distance，HD）
- 陆地移动距离（Earth Mover’s Distance，EMD）
相似度
- 余弦相似度（Cosine Similarity）
几何含义：两个向量夹角的余弦值。
\[ \begin{aligned}
cos\theta & =\frac{\sum_{i=1}^n(A_i\times B_i)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(A_i)^2}\times\sqrt{\sum_{i=1}^n(B_i)^2}} \\
&=\frac{A\cdot B}{|A|\times|B|}
\end{aligned} \]
- 皮尔森相关系数（Pearson Correlation Coefficient）
衡量两个变量之间的线性相关。
\[r=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\hat{x})(y_i-\hat{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\hat{x}\right)^2\sqrt{\sum_{i=1}^n\left(y_i-\hat{y}\right)^2}}}
\]
- KL散度/相对熵（Kullback-Leibler Divergence）
衡量两个分布之间的距离，越小越相似。
\[D_{KL}(p||q)=\sum_{i=1}^Np(x_i)\cdot log\frac{p(x_i)}{q(x_i)}
\]
- 互信息(Mutual Information)
一个随机变量中包含的关于另一个随机变量的信息量，或者说一个随机变量由于已知另一个随机变量而减少的不确定性。
\[I(X;Y)=\sum_{x\in X}\sum_{y\in Y}p(x,y)log\frac{p(x,y)}{p(x)p(y)}
\]
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