古诺模型（Cournot model）是博弈论中最具有代表性的模型之一，也是是纳什均衡最早的版本。它是法国经济学家古诺(Augustin Cournot)在1938年出版的《财富理论的数学原理研究》一书中最先提出的。而古诺的定义比纳什的定义早了一百多年，足以体现博弈论这样一个学科是深深扎根于经济学的土壤中的。从经济学的角度，它的研究价值在于古诺模型是介于两种极端状况完全竞争和垄断之间。在古诺生活的时代，大多数市场都只有少数的厂商经营，所以这个模型在当时是极具现实意义的。随着时间的推移，古诺模型也演变出了各种不同的版本。如果从博弈论的角度分析，有四种情况极具代表性：完全信息静态博弈的古诺模型、不完全信息静态博弈的古诺模型、完全且完美信息动态博弈的古诺模型、无限次重复博弈的古诺模型。
一、经典古诺模型
古诺模型最初的形态是来自于经济学的。在经济学中，寡头的概念是指那种在某一产业只有少数几个卖者的市场组织形式。古诺模型对寡头具有如下的基本假设，所有厂家都知道市场销量、市场价格和利润，属于完全信息博弈：
（1）假定一个产业只有两个寡头，每个寡头生产同质产品，并追求利润最大化；
（2）两个寡头之间进行的是产量的竞争而不是价格竞争，且产品的价格依赖于两者生产的产品总量；
（3）边际成本为常数；
（4）面临相同的线性市场需求曲线；
（5）寡头之间无勾结行为。
1.1边际成本为零时古诺模型的求解
设市场反需求函数为 \(P=a-b Q, Q=Q_1+Q_2\) ，总成本 \(T C_i=0\) ，边际成本 \(MC_i=0, i=1,2\) ，求利润最大化下的 \(Q_1，Q_2，P， \pi_1，\pi_2\) 。
第一家企业的利闰
\(\pi_1\left(Q_1\right)=T R_1-T C_1=P Q_1-0=\left[a-b\left(Q_1+Q_2\right)\right] Q_1=a Q_1-b Q_1^2-b Q_1 Q_2\) (等利润线)
得出\(Q_1=\frac{a-b Q_2}{2 b}\) (寡头 1 的反应函数，对应的曲线是反应曲线)
同理可得寡头 2 的反应函数为\(Q_2=\frac{a-b Q_1}{2 b}\)
同理:
\[\pi_2^*=\frac{1}{9} \frac{a^2}{b}=\frac{1}{(2+1)^2} \frac{a^2}{b} \Rightarrow \pi^*=\frac{2}{9} \frac{a^2}{b} \]
1.2边际成本为\(c\)时古诺博弈的求解
设市场反需求函数为 \(P=a-b Q, Q=Q_1+Q_2\), 总成本 \(T C_i=c Q_i\) ，边际成本 \(M C_i=c, i=1,2\) ，求利润最大化。
第一家企业的利润
\(\pi_1\left(Q_1\right)=T R_1-T C_1=P Q_1-c Q_1=\left[a-b\left(Q_1+Q_2\right)\right] Q_1-c Q_1=(a-c) Q_1-b Q_1^2-b Q_1 Q_2 \text { (等利润线) }
\)
利润最大化的一阶条件FOC:
\[\frac{d \pi_1}{d Q_1}=(a-c)-2 b Q_1-b Q_2=0 \]推出:\(Q_1=\frac{(a-c)-b Q_2}{2 b}\) (寡头 1 的反应函数，对应的曲线是反应曲线)
同理可得寡头 2 的反应函数为:
进而推出:
\[\begin{aligned} Q_1^* & =\frac{a-c}{3 b}=\frac{1}{2+1} \frac{a-c}{b}, Q_2^*=\frac{a-c}{3 b}=\frac{1}{2+1} \frac{a-c}{b} \Rightarrow Q^*=\frac{2(a-c)}{3 b} \\ P^* & =\mathrm{a}-\mathrm{b} Q_1^*=\mathrm{a}-\mathrm{b} \frac{2(a-c)}{3 b}=\mathrm{a}-\frac{2}{3}(a-c) \\ \pi_1^* & =\left(P^*-\mathrm{c}\right) \times Q_1^*=\frac{1}{9} \frac{(a-c)^2}{b}=\frac{1}{(2+1)^2} \frac{(a-c)^2}{b} \end{aligned} \]同理:
\[\pi_2^*=\left(P^*-\mathrm{c}\right) \cdot Q_2^*=\frac{1}{9} \frac{(a-c)^2}{b}=\frac{1}{(2+1)^2} \frac{(a-c)^2}{b} \Rightarrow \pi^*=\frac{2}{9} \frac{(a-c)^2}{b} \]1.3 \(n\)家厂商是的古诺博弈
假定古诺的寡头垄断模型中有\(n\) 个企业，令\(Q_i\)代表企业 \(i\)的产量，且 \(Q = Q_1 + Q_2· · · + Q_n\) 表示市场总产量，\(p\)表示市场出清价格，并假设反需求函数由 \(P(Q) = a-bQ\) 给出，并设企业\(i\)生产出 \(Q_i\) 的总成本 \(C_i(Q_i) = cQ_i\)，即没有固定成本，且边际成本为常数\(c\)，这里我们设\(c < a\)。根据古诺的假定，企业同时就产量进行决策。试写出该博弈的模型，并求出该博弈的纳什均衡；当 n 趋向于无穷时，将会发生什么情况?
对于第 \(i\) 个企业, 其目标为最大化自己的利益。
若达到纳什均衡, 则
一阶条件为: \(Q_i^*=\frac{1}{2b}\left(a-bQ_{-i}^*-c\right)\)
由于 \(Q^*=Q_i^*+Q_{-i}^*\)，根据对称性，故所有的 \(Q_i^*\) 都相等, 即, \(Q^*=n Q_i^*\)，\(Q_{-i}^*=(n-1)Q_i^*\)，得
当 \(n \rightarrow \infty\) 时,
\[\lim _{n \rightarrow \infty}\pi_i=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{(n+1)^2} \frac{(a-c)^2}{b}=0 \]当企业个数无数多的时候, \(P \rightarrow c\), 即市场出清价格趋向于边际成本, 此时市场趋向于完全竞争市场。根据上面推到给出最终结果：
\[\begin{aligned} & Q_1^*=Q_2^*=\cdots=Q_n^*=\frac{1}{n+1} \frac{a-c}{b}=\frac{a-c}{(n+1) b} \\ & \pi_1^*=\pi_2^*=\cdots=\pi_n^*=\frac{1}{(n+1)^2} \frac{(a-c)^2}{b} \end{aligned} \]1.4两家企业组成卡特尔的情况
设市场反需求函数为 \(P=a-bQ\) ，求利润最大化。
将两家企业看成一家，边际收益 \(M R=a-2 b Q\) 。(来自结论: 边际收益与反需求函数的关系，截距一样，斜率是反需求函数的 2 倍)边际成本 \(M C_i=c, i=1,2\)
利润最大化的一阶条件是边际收益 \(=\) 边际成本，所以 \(a-2 b Q=c\)
可以推出 \(Q^*=\frac{a-c}{2 b}=\frac{1}{2} \frac{a-c}{b}<\frac{2}{3} \frac{a-c}{b}\)
所以双寡头被垄断成一家企业时，产量降低了 (价格会高)。
所以双寡头被垄断成一家企业时，产量降低了，价格会高，而利润是增加了。
1.5两家企业统一决策，两家企业组成卡特尔的情况
设市场反需求函数为 \(P=a-bQ\) ，求利润最大化。市场利润=两家企业总收益-两家企业总成本即，
\[\begin{aligned} & \pi\left(Q_1, Q_2\right)=\left(T R_1+T R_2\right)-\left(T C_1+T C_2\right) \\ & =P *\left(Q_1+Q_2\right)-\left(c Q_1+c Q 2\right) \\ & =\left[a-b\left(Q_1+Q_2\right)\right] *\left(Q_1+Q_2\right)-\left(c Q_1+c Q 2\right) \\ & =a Q_1+a Q_2-c Q_1-c Q_2-b Q_1^2-2 b Q_1 Q_2-b Q_2^2 \end{aligned} \]推出 \(\frac{d \pi}{d Q_1}=a-c-2 b Q_1-2 b Q_2=0\)
\[\frac{d \pi}{d Q_2}=a-c-2 b Q_2-2 b Q_1=0 \]进而推出:
\[\begin{aligned} & Q^*=\frac{a-c}{2 b} \\ & P^*=a-b Q_1^*=a-b \frac{a-c}{2 b}=\frac{a+c}{2} \\ & \pi^*=(P-c) Q^*=a-b Q_1^*=\frac{1}{4} \frac{(a-c)^2}{b}>\frac{2}{9} \frac{(a-c)^2}{b} \end{aligned} \]古诺模型是在假定寡头具有完全信息的基础上导出的。在这一均衡中，每个寡头都可以准确猜测对手的产量，从而选择自己的最大产出。最重要的是，古诺均衡解在寡头无勾结的假定下求出的。如果考虑寡头之间相互勾结而达到均衡的情况，那么经过计算可以得到实际产出水平与实际价格上等于完全垄断条件下达到的产量与价格。
二、完全且完美信息动态博弈——斯塔克尔伯格模型
斯塔克伯格博弈(Stackelberg Game)是一个两阶段的完全信息动态博弈，博弈的time是序贯的。该模型基于产量展开博弈，主要思想是领导者（leader）和追随者（followers）双方都是根据对方可能的策略来选择自己的策略以保证自己在对方策略下的利益最大化，从而达到纳什均衡。在该博弈模型中，先作出决策的一方被称为leader，在leader之后，剩余的players根据leader的决策进行决策，被称为followers，然后leader再根据followers的决策对自己的决策进行调整，如此往复，直到达到纳什均衡。
2.1一般的斯塔克尔伯格竞争模型
斯塔克尔伯格竞争模型厂商之间存在着行动次序的区别。产量的决定依据以下次序：领导性厂商决定一个产量，然后跟随者厂商可以观察到这个产量，然后根据领导性厂商的产量来决定他自己的产量。要注意的是，领导性厂商在决定自己的产量的时候，充分了解跟随厂商会如何行动——这意味着领导性厂商可以知道跟随厂商的反应函数。因此，领导性厂商自然会预期到自己决定的产量对跟随厂商的影响。正是考虑到这种影响的情况下，领导性厂商所决定的产量将是一个以跟随厂商的反应函数为约束的利润最大化产量。因此，领导性厂商自然会预期到自己决定的产量对跟随厂商的影响。正是考虑到这种影响的情况下，领导性厂商所决定的产量将是一个以跟随厂商的反应函数为约束的利润最大化产量。在斯塔克尔伯格模型中，领导性厂商的决策不再需要自己的反应函数。设市场需求价格函数为：
\[D=D(p_1+p_2)=a−b(p_1+p_2) \]其中\(p_1\)和\(p_2\)分别是两个企业的产量。假设两企业的成本函数相同，都为\(C=cp\)，即：
\[\max p_2[a-b(p_1+p_2)]-cp_2 \]在知道企业2对任意给定产量的反应后，企业1的最优产量模型为：
\[max p_1[a−b(p1+p2)]−cp_1，\quad s.t.p_2=g(p_1) \]因此斯塔克尔伯格（Stackelberg）模型是先求解如下的优化模型：
\[maxp_2[a−b(p_1+p_2)]−cp_2 \]得到\(p_2=g(p_1)\)
然后再求解如下的优化模型：
得到\(p_1\)，代入\(p_2=g(p_1)\)，得到\(p_2\)，如此得到斯塔克尔伯格均衡时的\((p_1，p_2)\)。
具体地，设市场需求价格函数为\(D=61.2−10∗(p_1+p_2)\)，两企业的成本函数都为\(C=1.2p\)，求斯塔克尔伯格均衡时两个企业的产量（企业1为领导者，企业2为跟随者）。求解如下的优化模型：
得到\(p_2=\frac{60-10p_1}{20}\)，然后求解下列优化模型
\[\max p_1[61.2-10*(p_1+p_2)]-1.2p_1，\quad s.t.\quad p_2=\frac{60-10p_1}{20} \]得到结果为\(p_1=3，p_2=1.5\)。
2.2产量博弈模型
设市场反需求函数为 \(P=100-Q=100-\left(Q_1+Q_2\right) ， Q=Q_1+Q_2\) ，领导者厂商 \(1 T C_1=\) \(1.2 Q_1^2+2\) ，追随者厂商2 \(T C_2=1.5 Q_2^2+8\) ，求利润最大化下的 \(Q_1，Q_2，P，\pi_1，\pi_2\) 。
考虑追随者厂商2
利润最大化的一阶条件 \(FOC\) 为
\[\frac{d \pi_2}{d Q_2}=100-Q_1-5 Q_2=0 \]可以推出
\[Q_2=20-\frac{1}{5} Q_1\quad \tag{1} \]把 (1) 代入厂商1的利润函数，得出
\[\begin{aligned} & \pi_1=T R_1-T C_1 \\ & =\left[100-\left(Q_1+Q_2\right)\right] Q_1-\left(1.2 Q_1^2+2\right) \\ & =100 Q_1-Q_1 Q_2-2.2 Q_1^2-2 \\ & =80 Q_1-2 Q_1^2-2 \\ & \frac{d \pi_1}{d Q_1}=80-4 Q_1=0 \end{aligned} \]可得 \(Q_1=20\) 进而可得 \(Q_2=16\)
\[P=100-\left(Q_1+Q_2\right)=64 \]所以领导者厂商1： \(TC_1=1.2 Q_1^2+2=482\)
追随者厂商2： \(T C_2=1.5 Q_2^2+8=392\)
可得:
厂商1的利润 \(\pi_1=T R_1-T C_1=1280-482=798\)
厂商2的利润 \(\pi_2=T R_2-T C_2=1024-392=632\)
2.3价格博弈模型
Leader厂商1按边际收益=边际成本 (即 \(MR_1=MC_1\) ) 选择 \(P\) ， Follower厂商2接受 \(P\) ，并按 \(P=MC_2\) 生产 \(Q_2\) 。 Follower相应于完全竞争市场的价格接受者， \(P=M C_2\) 决定了Follower的供给曲线。把领导者厂商看成剩余市场的垄断者。
设市场的需求函数 \(Q=100-0.5 P\) ，领导者厂商1: \(T C_1=1.2 Q_1^2+6\) ，追随者厂商2: \(T C_2=1.5 Q_2^2+8\) ，求利润最大化下的 \(Q_1，Q_2，P，\pi_1，\pi_2\) 。
注: 边际成本 \(=\) 总成本变动量/产量变动量。由定义得知边际成本等于总成本 \((\mathrm{TC})\) 的变化量 \((\triangle \mathrm{TC})\) 除以对应的产量上的变化量 \((\Delta Q)\) ，即: \(M C(Q)=\Delta T C(Q) / \Delta Q\) 或 \(M C(Q)=\lim =\Delta T C(Q) / \Delta Q=d T C / d Q(\) 其中 \(\Delta Q \rightarrow 0)\) 。
考虑厂商2:
利润最大化原则为 \(MC_2=P\) ，即 \(\frac{d T C_2}{d Q_2}=3 Q=P\) ，得厂商2得供给函数 \(S_2=Q_2(P)=\frac{1}{3} P\)
考虑厂商1:
剩余需求为 \(D_1(P)=D(P)-S_2(P)=(100-0.5 P)-\frac{1}{3} P=100-\frac{5}{6} P\) ，可以推出反需求函数为 \(P=\) \(120-\frac{6}{5} Q_1\)
由反需求函数得到边际收益为 \(M R_1=120-\frac{12}{5} Q_1\) ，
由利润最大化的FOC 边际收益=边际成本 得 \(120-\frac{12}{5} Q_1=2.4 Q_1\) ，解得 \(Q_1^*=25, P^*=90, Q_2^*=30, Q^*=\) \(Q_1^*+Q_2^*=55\)
可得:
厂商1的利润 \(\pi_1=T R_1-T C_1=1494\)
厂商 2 的利润 \(\pi_2=T R_2-T C_2=1342\)
三、不完全信息静态古诺博弈模型
完全信息静态博弈的古诺模型即经济学中最经典的形式，它假设了厂商相互完全了解对方的产量和成本,而市场价格又是统一的,因此,博弈双方的得益情况是共同知识,没有任何秘密。然而，在现实经济中无论是相互竞争的厂商亦或是相互信任的厂商之间，为了各自的利益往往都会将自己生产销售的有关情况作为商业秘密加以保密（这样做是否能达到最大利益还有待商榷），其他厂商很难了解真实情况。因此，完全信息静态博弈的古诺模型的假设可能与现实情况并不完全一致，现实的寡头市场产量博弈模型中各博弈方的得益根本不可能是共同知识。例如在两厂商模型中,只要一个厂商对另一个厂商的生产成本不清楚，则前一个厂商就不可能完全清楚另一个厂商在各种双方产量组合下的得益，所以，有必要讨论不完全信息静态博弈古诺模型。
3.1 一般情形推导
假设\(P(Q)=\alpha -Q\)，厂商1的平均成本\(C\)是共同知识，而厂商2的平均成本有两种类型：高成本\(C_H\)或低成本\(C_L\)；厂商2知道自己是哪种成本，而厂商1不知道，但知道\(C_H\)的概率为\(\theta\)，\(C_L\)的概率为\((1-\theta)\)。由已知条件可求得:
\[\begin{aligned} \arg \max _{q_1 \geq 0}\left\{\theta\left(P\left(q_1+q_L\right)-C\right) q_1\right. & \left.+(1-\theta)\left(P\left(q_1+q_H\right)-C\right) q_1\right\} \\ \arg \max _{q_L \geq 0}\left\{\left(P\left(q_1+q_L\right)\right.\right. & \left.\left.-C_L\right) q_L\right\} \\ \arg \max _{q_H \geq 0}\left\{\left(P\left(q_1+q_H\right)\right.\right. & \left.\left.-C_H\right) q_H\right\} . \\ q_1^* & =\frac{1}{3}\left(\alpha-2 C+\theta C_L+(1-\theta) C_H\right) \\ q_L^* & =\frac{1}{3}\left(\alpha-2 C_L+C\right)-\frac{1}{6}(1-\theta)\left(C_H-C_L\right) \\ q_H^* & =\frac{1}{3}\left(\alpha-2 C_H+C\right)+\frac{1}{6} \theta\left(C_H-C_L\right) . \end{aligned} \]通过结果可以发现：相比完全信息，当企业2选择高成本时，会选择生产更多；低成本时会选择生产更少。不完全信息使得企业2相对来说有优势，企业1选择适中的产量。
这里值得质疑的是：是不是公司所有的信息都是不公布为好？答案是否定的。在不完全信息静态博弈下的古诺模型中，就有最好的证明。经过简单的计算可以发现，如果本公司的成本更低是应该告诉对方的，这样根据两个公司产量的函数表达，对方公司的产量应该下降，而本公司增加产量，这样就可以达到利润最大化。但是实际生活中还有这样一种情况不能忽视，即一旦低成本的公司公布了自己的成本，那么没有公布成本的公司为自动被认为是高成本的，那么为了避免被误认为是高成本的公司，那么一些高成本的公司也不得不公布自己的成本，这样一来，市面上的公司成本都得到了公布，那么古诺模型又会回到原来最经典的样子。所以事实证明，缺少信息也是一种信息，当然前提是信息需要被核实。
3.2 具体情形推导
市场中存在两个生产同质商品的企业{企业1，企业2}，其产量分别为\(q_1,q_2\)，市场上的总产量为\(Q=q_1+q_2\)，市场价格为\(P=16-Q（Q≤16）\)，企业2的边际生产成本为4，即\(C(q_2)=4q_2\)，而企业1的边际成本为私有信息，但已知其概率分布：企业1以\(1/3\)的概率为低边际成本\(C_L=2，C(q_1;L)=2q_1\)，以\(2/3\)的概率为高边际成本\(C_H=6，C(q_1;H)=6q_1\),给定企业2的策略也就产量\(q_2\)，记参与人1的最优反应为\((q_1(L),q_1(H))\)。
对于低成本的类型来说，给定企业2的策略，企业1的最优反应为：
二次方程求最值得到最优反应：
\(q_1(L)=\frac{14-q_2}{2}\)
对于高成本的类型来说，给定企业2的策略，企业1的最优反应为：
二次方程求最值得到最优反应：
\(q_1(L)=\frac{10-q_2}{2}\)
3.给定参与人1的策略\((q_1(L),q_1(H))\),参与人2的最优反应为\(q_2\)
求最值得最优反应：
\[q_2=\frac{12-\frac{q_1(L)+2q_1(H)}{3}}{2} \]则得到不完全信息古诺模型得最优反应函数得策略组合
\[((q_1^*(L),q_1^*(H)),q_2^*) \]为贝叶斯纳什均衡,也就是上述得到得三个最优解联立一下，就可以得到\(q_2=\frac{38}{9}\)，另两个值也能算出来。
若假定已知企业1一定会选择低类型，那么可以找出纳什均衡\(q_1(L)\)的值为$ \frac{16}{3}$ 大于不完全信息博弈，完全信息与不完全信息博弈相比，企业1会生产更少的商品。因为在不完全信息下，企业1知道企业2会根据期望收益来指定产量，相比纯低成本，不完全信息又会使企业2向企业1成本高的方向偏移，所以相对来说企业2就会生产更多的产品从而获得更多的期望收益，而企业1也知道企业2会生产比完全信息时更多的产品，所以1就会相比完全信息生产少的产品（回忆下双寡头古诺模型的均衡，一个多了另一个会少）。反之，当企业1选择高类型时，同理。
四、总结
古诺模型具有很高的借鉴价值。虽然自改革开放以来，中国的经济注入了很多民间的新鲜血液，但是某些市场依然由国家全面把持，或者市场的准入门槛过高，造成一些国有企业充当寡头，甚至垄断整个市场,这样还是在无形当中降低了市场的效率。如何在这种不利的条件下，得到最大的收益，还是需要仔细对古诺模型进行分析。例如，随着中国电力市场改革的深入发展，电力工业出现了产权多元化的局面，有国家、集资、股份、合资、外资等多种办电方式。各发电商都希望利用自己拥有的信息，合理安排自己的发电计划，合理申报电力价格，以获得最大的利润。电力市场不是自由竞争的市场，而是具有寡头垄断性质的市场，竞争主要在于少数寡头之间。因此利用古诺模型分析发电厂商的定价行为，找出其最优的均衡价格，具有合理性。