海盗寻宝模型

一 模型背后的故事

从前，有一群海盗积攒了很多财富，为了轻装出发，计划把所有财宝埋在岛上.此时，他们发现荒岛上有两个橡树\(A\)，\(B\)，一棵山毛榉树\(C\).海盗头子克罗特吩咐一名海盗从山毛榉树到一棵橡树拉一根绳子，然后从橡树出发，沿着垂直于绳子的方向，走一段等于这段绳子的距离，这时确定的位置为\(E\)号地点.
然后他又吩咐另一个海盗从山毛榉树到另一棵橡树也拉上绳子，然后从橡树出发，沿着垂直于绳子的方向也走一段等于绳子长度的距离，这时确定的位置为\(D\)号地点.等到两个海盗照此确定了\(E\)号、\(D\)号地点以后，克罗特带领众海盗来到了这\(E\)、\(D\)两点的正中点\(F\)(如图1)，下令说：“伙伴们，我们就把财宝埋藏在这里.

简单地说：以\(AC\)，\(BC\)为边分别构造等腰直角\(△ACE\)和等腰直角\(△BCD\)，\(A\)，\(B\)分别为它们的为直角顶点，连接\(DE\)，取\(DE\)中点\(F\)处埋下宝藏”.
由于匆忙，离开的时候他们忘记了绘制藏宝图.半年后有个小海盗杰克瞒着海盗头子偷偷潜回该岛，企图盗走财宝，他知道找财宝的诀窍，但令他失望的是，作为标记的山毛榉树\(C\)被台风刮走了，没有留下一点痕迹，只有两棵橡树\(A\)，\(B\)还在.
但他并不放弃，在没有山毛榉树作标记的情况下，还是凭着智慧找到了财宝，你知道这个小海盗杰克是怎样找到宝藏的吗？
据说他是这样做得：他先找到两棵橡树连线\(AB\)的中点，由中点引了这条连线的垂线，再向岛内量出两棵橡树距离的一半(如图2)，找到这一点深挖下去，果然找到了那笔巨额财宝，并带着财宝溜之大吉．

实际上，在图3中，\(△ABF\)为等腰直角三角形(\(F\)为直角顶点)，因此才想出上述的方法，从而找到宝藏.

二 海盗寻宝模型

1 模型归纳

模型中有公共顶点的两个等腰直角三角形，且该顶点对应内角非直角.
发挥下想象能力，它就是像螃蟹或龙虾的钳子，只是有可能两个钳子大小不一样.

两个钳子尖角连线的中点，到直角处的距离相等，且连线相互垂直.
模型的数学表达形式
如下图，\(∆ACE\)和\(∆BCD\)是等腰直角三角形，且\(\angle E A C=\angle C B D=90^{\circ}\)，\(F\)是\(ED\)的中点，
求证\(△MAC\)为等腰直角三角形.

2 模型的证明

证明 延长\(AF\)到\(G\)，使得\(FG=AF\)，

因为\(EF=DF\)，易得\(∆AEF≅∆DGF\)， (\(8\)字模型)
所以\(DG=AE=AC\)，\(∠EAF=∠FGD\)，
所以\(AE||DG\)，
延长\(AC\)和\(GD\)延长线交于点\(H\)，
因为\(∠EAC=90^{\circ}\)，所以\(∠H=90^{\circ}\) ，
又因为\(∠CBD=90^{\circ}\)，易得\(∠HCB=∠HDB\)，所以\(∠BCA=∠BDG\)，
又因为\(BC=BD\)，\(CA=DG\)， 所以\(∆BCA≅∆BDG\)，
所以\(AB=BG\)，\(∠CBA=∠DBG\)，所以\(∠ABG=90^{\circ}\)，
所以\(∆ABG\)是等腰直角三角形，
又因为\(AF=FG\)，所以\(AF=BF\)，\(BF⊥AG\)，
即\(△MAC\)为等腰直角三角形.
总结 模型的证明方法多样；理解下上面的模型证明过程，
一是利用“\(F\)是\(ED\)的中点”构造\(8\)字型；
二是\(∆BCA≅∆BDG\)可以看成\(∆BCA\)绕着点\(B\)旋转\(90^{\circ}\)得到\(∆BDG\)；
三是等腰直角三角形\(∆ABG\)的性质.

三 例题详解

已知两个共一个顶点的等腰直角\(△ABC\)和等腰直角\(△CEF\)，\(∠ABC＝∠CEF＝90^{\circ}\)，连接\(AF\)，\(M\)是\(AF\)的中点，连接\(MB\)、\(ME\)
(1)如图1，当\(CB\)与\(CE\)在同一直线上时，求证：\(MB∥CF\)；
(2)如图1，若\(CB＝a\)，\(CE＝2a\)，求\(BM\)，\(ME\)的长；
(3)如图2，当\(∠BCE＝45^{\circ}\)时，求证：\(BM＝ME\)．

解析
1 确定模型
\(△ABC\)和\(△CEF\)是公共顶点的等腰三角形，模型属于“海盗寻宝模型”.
2 证明模型结论
(1) 分析：第一、二问中，由“海盗寻宝模型”的结论可知\(∆BME\)是等腰三角形，
则由\(∠EBM=∠ECF=45^{\circ}\) 可得\(MB||CF\)，\(B M=E M=\dfrac{1}{2} B E=\dfrac{\sqrt{2}}{2} a\).
问题就在于怎么证明\(∆BME\)是等腰三角形，回顾下前面的“模型证明”过程便知.
证明：如图1，延长\(BM\)交\(EF\)于点\(D\)，

\(∵∠ABE＝∠ABC＝∠CEF＝90^{\circ}\) ，\(∴AB∥EF\)，
\(∴∠DFM＝∠BAM\)，且\(AM＝MF\)，\(∠AMB＝∠DMF\)，
\(∴△ABM≌△FDM(ASA)\) (利用“\(M\)是\(AF\)的中点”构造\(8\)字型)
\(∴AB＝DF\)，\(BM＝DM\)，
\(∵\)在等腰直角\(△ABC\)和等腰直角\(△CEF\)中，\(AB＝BC\)，\(EC＝EF\)，\(∠FCE＝45^{\circ}\)，
\(∴DF＝AB＝BC\)，
\(∴EC-BC＝EF-DF\)，
\(∴BE＝DE\)，且\(∠BED＝90^{\circ}\)，
\(∴∆BED\)是等腰直角三角形，
又\(∵BM＝DM\)，\(∴∆BEM\)是等腰直角三角形，
3 解决问题
(1)\(∵∆BEM\)是等腰直角三角形，
\(∴∠EBD＝45^{\circ} ＝∠FCE\)，
\(∴BM∥CF\)，
(2)\(∵∆BEM\)是等腰直角三角形，
\(\therefore B M=E M=\dfrac{1}{2} B E=\dfrac{\sqrt{2}}{2} a\)，
(3) 第三问显然还是“海盗寻宝模型”，模型结论可得\(△BME\)是等腰直角三角形，题中要证明\(BM＝ME\)那只需要按前面的套路再来一次.
证明：延长\(BM\)交\(CF\)于\(D\)，连接\(BE\)、\(DE\)．

\(∵∠BCE＝45^{\circ}\)，\(∠ECF＝45^{\circ}\)，\(∴∠BCF＝90^{\circ}\)，
又\(∵∠ABC＝90^{\circ}\)，\(∴AB∥CF\)，
\(∴∠BAM＝∠DFM\)，
\(∵M\)是\(AF\)的中点，\(∴AM＝FM\)，
在\(△ABM\)和\(△FDM\)中\(\left\{\begin{array}{l} \angle B A M=\angle D F M \\ A M=F M \\ \angle A M B=\angle F M D \end{array}\right.\)，
\(∴△ABM≌△FDM(ASA)\)，
\(∴AB＝DF\)，\(BM＝DM\)，
\(∴AB＝BC＝DF\)，
在\(△BCE\)和\(△DFE\)中\(\left\{\begin{array}{l} B C=D F \\ \angle B C E=\angle D F E=45^{\circ} \\ C E=E F \end{array}\right.\)，
\(∴△BCE≌△DFE(SAS)\)，
\(∴BE＝DE\)，\(∠BEC＝∠DEF\)，
\(∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝∠DEF+∠CED＝∠CEF＝90^{\circ}\)，
\(∴△BDE\)是等腰直角三角形，
\(∵BM＝MD\)， \(\therefore B M=M E=\dfrac{1}{2} B D\)，
\(∴BM＝ME\)．