将军饮马模型

一 模型背后故事

相传亚历山大有一位精通数学和物理的学者，名字叫海伦，有一天，一位罗马将军专程去拜访他，并向他请教一个百思不得其解的问题.
如图，将军每天从军营\(A\)出发，先到河边饮（yìn）马，然后再去河岸同侧的\(B\)地开会，应该怎样走才能使得行走的路程最短？

据说，海伦稍加思索就解决了它，此后，这个问题就被称为“将军饮马”，并流传至今.

二 模型归纳

故事模型

如下图，点\(A\)，\(B\)在直线\(l\)的同侧，在直线\(l\)上取一点\(P\)，使得\(PA+PB\)最小.

作法 作点\(A\)关于直线\(l\)的对称点\(A^{\prime}\)，连接\(A^{\prime}B\)与直线\(l\)交于点\(P\).

简证 \(PA+PB=PA^{\prime}+PB=A^{\prime}B\)，\(P^{\prime}A+P^{\prime}B=P^{\prime}A^{\prime}+P^{\prime}B\)，
因为\(P^{\prime} A^{\prime}+P^{\prime} B≥A^{\prime}B\)，所以\(P^{\prime}A+P^{\prime}B≥PA+PB\)，
所以点\(P\)为所求点.

变形模型

模型1 如下图，点\(A\)，\(B\)在直线\(l\)的异侧，在直线\(l\)上取一点\(P\)，使得\(PA+PB\)最小.
两点间线段最短，连接\(AB\)，交直线\(l\)于点\(P\)，此时\(PA+PB\)最小，其最小值为\(AB\).

模型2 如下图，点\(P\)是\(∠MON\)内的一定点，分别在\(OM\)，\(ON\)上做点\(A\)，\(B\)，使得\(∆PAB\)的周长最小.
作点\(P\)关于\(OM\)，\(ON\)的对称点\(P_1\)，\(P_2\)，连接\(P_1 P_2\)，交\(OM\)，\(ON\)于点\(A^{\prime}\)，\(B^{\prime}\)，
此时\(∆PAB\)的周长最小，其最小值为\(P_1 P_2\).

模型3 如下图，点\(P\)，\(Q\)是\(∠MON\)内的两点，分别在\(OM\)，\(ON\)上做点\(A\)，\(B\)，使得四边形\(PAQB\)的周长最小.
作点\(P\)关于\(OM\)的对称点\(P^{\prime}\)，作点\(Q\)关于\(ON\)的对称点\(Q^{\prime}\)，连接\(P^{\prime}Q^{\prime}\)，交\(OM\)，\(ON\)于点\(A^{\prime}\)，\(B^{\prime}\)，
此时四边形\(PAQB\)的周长最小，其最小值为\(P^{\prime}Q^{\prime}\).

模型4 如下图，点\(A\)是\(∠MON\)外的一点，在射线\(OM\)上找到点\(P\)，使\(PA+PB\)(点\(P\)到射线\(ON\)的距离)最小.
过点\(A\)作\(AB^{\prime}⊥ON\)，则\((P A+P B)_{\min }=A B^{\prime}\).

模型5 如下图，点\(A\)是\(∠MON\)内的一点，在射线\(OM\)上找到点\(P\)，使\(PA+PB\)(点\(P\)到射线\(ON\)的距离)最小.
如左图，作\(A\)关于\(OM\)的对称点\(A^{\prime}\)，过点\(A^{\prime}\)作\(A^{\prime}B^{\prime}⊥ON\)，则\((P A+P B)_{\text {min }}=A^{\prime} B^{\prime}\)；
如右图，作\(ON\)关于\(OM\)的对称线\(ON^{\prime}\)，过点\(A\)作\(AB^{\prime}⊥ON^{\prime}\)，则\((P A+P B)_{\text {min }}=AB^{\prime}\).

三 例题详解

例1 如图，四边形\(ABCD\)是菱形，\(AC＝8\)，\(DB＝6\)，\(DH⊥AB\)于点\(H\)．点\(E\)是\(AD\)上一点，且\(DE＝\dfrac{1}{5} A D\)，点\(F\)是\(DH\)的中点．点\(P\)是线段\(BD\)上一动点．点\(P\)在运动过程中，\(PE+PF\)的最小值为\(\underline{\quad \quad}\) .

解析
1 确定模型
动点\(P\)线段\(BD\)上，而动点\(E\)，\(F\)在直线\(BD\)同侧，属于将军饮马模型.
2 作对称
如图，在\(DC\)上取\(D I=\dfrac{1}{5} D C\)，

\(∵\)四边形\(ABCD\)是菱形关于为\(BD\)对称，\(∴PI＝PE\)，
(将军饮马往往与“对称图形”有缘，比如角平分线、中垂线、等腰三角形、菱形、正方形等)
\(∴PE+PF＝PF+PI≥FI\)，
3 求解
\(\because O D=\dfrac{1}{2} BD=3\), \(O C=\dfrac{1}{2} AC=4\)，
\(∴CD=5\)，\(∴AB＝CD＝5\)，
\(\because S_{\text {菱形 } A B C D}=\dfrac{1}{2} A C \cdot B D=A B \cdot D H\)，\(∴\dfrac{1}{2}×6×8=5DH\)， (等积法)
\(\therefore D H=\dfrac{24}{5}\)，\(\therefore D F=\dfrac{1}{2} DH=\dfrac{12}{5}\)，
\(∵\)四边形\(ABCD\)是菱形，\(∴AB∥CD\)，
\(\therefore \angle F D I=\angle A H D=90^{\circ}\)，
\(Rt△FDI\)中，\(D I=\dfrac{1}{5}DC=1\)，\(F I=\sqrt{F D^2+D I^2}=\sqrt{\left(\dfrac{12}{5}\right)^2+1^2}=\dfrac{13}{5}\)，
\(∴PE+PF\)的最小值为\(\dfrac{13}{5}\).
 

例2 已知\(∠AOB＝30^{\circ}\)，在\(∠AOB\)内有一定点\(P\)，点\(M\)，\(N\)分别是\(OA\)，\(OB\)上的动点，若\(△PMN\)的周长最小值为\(3\)，则\(OP\)的长为\(\underline{\quad \quad}\) .

解析
1 确定模型
由于\(M\)，\(N\)是动点，动点\(P\)在\(∠AOB\)内，则\(△PMN\)的周长最小值问题属于变形模型中的模型二.
2 作对称
分别作点\(P\)关于\(OB\)、\(OA\)的对称点\(C\)、\(D\)，连接\(CD\)，分别交\(OA\)、\(OB\)于点\(M\)、\(N\)，连接\(OC、OD、PM、PN、MN\)，如图所示：

所以\(△PMN\)的周长\(PM+MN+PN=DM+MN+NC\)，
当\(C,N,M,D\)四点共线时，\(DM+MN+NC\)取到最小值\(DC\)，
因为\(△PMN\)的周长最小值为\(3\)，所以\(DC=3\)，
3 求解
由于前面作的对称，\(∴OP＝OD\)，\(∠DOA＝∠POA\)；\(OP＝OC\)，\(∠COB＝∠POB\)，
\(∴OC＝OP＝OD\)，\(∠COD=2∠AOB=60^{\circ}\)，
\(∴△COD\)是等边三角形，
\(∴OP=OC=DC=3cm\).
 

例3 如图，在\(Rt△ABO\)中，\(∠OAB＝90^{\circ}\)，\(B(6，6)\)，点\(D\)在边\(AB\)上，\(AD＝5BD\)，点\(C\)为\(OA\)的中点，点\(P\)为边\(OB\)上的动点，则使四边形\(PCAD\)周长最小的点\(P\)的坐标为\(\underline{\quad \quad}\).

解析
1 确定模型
因为\(A\)，\(C\)，\(D\)是定点，求四边形\(PCAD\)周长最小值相当于求\(PD+PC\)的最小值，
而动点\(P\)在线段\(OB\)上，定点\(C\)，\(D\)在直线\(OB\)同侧，属于将军饮马模型.
2 作对称
作\(C\)关于直线\(OB\)的对称点\(E\)，连接\(ED\)交\(OB\)于\(P^{\prime}\)，连接\(CP^{\prime}\)，

则\(PD+PC=PD+PE≥DE\)，即使四边形\(PCAD\)周长最小的点为点\(P^{\prime}\).
3 求解
\(∵B(6，6)\)，\(∴AB＝OA＝6\)，\(∠AOB＝45^{\circ}\)，
\(∵AD＝5BD\)，点\(C\)为\(OA\)的中点，
\(∴D(6，5)\)，\(E(0，3)\)，
设直线\(ED\)的解析式为\(y＝kx+b\)，
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} b=3 \\ 6 k+b=5 \end{array}\right.\)，解得\(\left\{\begin{array}{l} k=\dfrac{1}{3} \\ b=3 \end{array}\right.\)，
\(∴\)直线\(ED\)的解析式为\(y=\dfrac{1}{3} x+3\)，
\(∵B(6，6)\)，\(∴\)直线\(OB\)的解析式为\(y=x\)，
由\(\left\{\begin{array}{l} y=x \\ y=\dfrac{1}{3} x+3 \end{array}\right.\)解得\(\left\{\begin{array}{l} x=\dfrac{9}{2} \\ y=\dfrac{9}{2} \end{array}\right.\)，(点\(P^{\prime}\)为直线\(ED\)和直线\(OB\)的交点)
\(\therefore P^{\prime}\left(\dfrac{9}{2}, \dfrac{9}{2}\right)\).