奔驰模型

一 奔驰模型

奔驰模型多指形如下面的左图，其中\(∆ABC\)是等边三角形，由于图形像奔驰车标，模型名称由此而来.

二 模型结论证明

如图，等边三角形，\(DA=3\)，\(DB=4\)，\(DC=5\)，
则（1）\(\angle ADB =150^{\circ}\)，（2）\(S_{\triangle \mathrm{ABC}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4} A B^2=\dfrac{25 \sqrt{3}+36}{4}\).

证明 （1）在线段\(AD\)左侧作等边三角形\(ADE\)，连接\(BE\)，

因为\(∠EAB=60^{\circ}-∠BAD\)，\(∠CAD=60^{\circ}-∠BAD\)，
所以\(∠EAB=∠CAD\)，
又因为\(AB=AC\)，\(AE=AD\)，
所以\(∆AEB≅∆ADC\)，
所以\(BE=CD=5\)，
因为\(BD^2+ED^2=16+9=25\)， \(BE^2=25\)，
所以\(ED⊥BD\)，所以\(∠ADB=150^{\circ}\)；
（2）过点\(B\)作\(BF\)垂直\(AD\)的延长线于点\(F\)，
在直角三角形\(BCD\)中，\(BD=4\)，\(∠FDB=30^{\circ}\)，
所以\(BF=2\)，\(D F=2 \sqrt{3}\)，
所以\(A B^2=B F^2+A F^2=4+(2 \sqrt{3}+3)^2=25+12 \sqrt{3}\)，
所以\(S_{\triangle \mathrm{ABC}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4} A B^2=\dfrac{25 \sqrt{3}+36}{4}\).
总结 (1)以上仅为一特例，证法中以证明\(∆AEB≅∆ADC\)，其实\(∆AEB\)可看成由\(∆ADC\)以点\(A\)为旋转点顺时针旋转\(60^{\circ}\)而得，这样更有助于找到解题思路.那旋转的方式还可多样的.

(2)旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题. 奔驰模型是利用等边三角形顶点作为旋转中心进行顺时针或逆时针旋转，把条件集中再结合全等三角形等知识解决问题，模型的相关解题思路也可拓展到等腰三角形或正方形.

三 例题详解

例1 如图，在\(△ABC\)中，\(∠ACB＝90^{\circ}\)，\(AC＝BC\)，点\(P\)是\(△ABC\)内一点，\(AP＝6\)，且\(∠APB＝∠APC＝135^{\circ}\)，那么\(AB＝\)\(\underline{\quad \quad}\)．

解析
1 确定模型
图形像“奔驰”，\(△ABC\)虽然不是等边三角形，是等腰直角三角形，\(AC=BC\)也具有奔驰模型中“旋转”的潜力啊；
要不把\(∆BCP\)绕着点\(C\)逆时针旋转\(90^{\circ}\)要不就是旋转\(∆ACP\)；
\(A B=\sqrt{2} A C=\sqrt{2} B C\)，故求\(AB\)只需求\(AC\)或\(BC\).
2 旋转
如图，把\(△BCP\)绕\(C\)逆时针旋转\(90^{\circ}\)得到\(△ACQ\)，连接\(PQ\)，

\(∴△PQC\)为等腰直角三角形，\(∠AQC＝∠BPC＝360^{\circ}-135^{\circ}-135^{\circ}=90^{\circ}\)，
（通过旋转，把原图形中的条件信息转移到\(△ACQ\)）
3 求值
易得\(∠AQP＝∠AQC-∠CQP＝45^{\circ}\)，\(∠APQ＝∠APC﹣∠CPQ＝90^{\circ}\)，
\(∴∠QAP＝45^{\circ}\)，
\(∵AP＝6\)，\(∴PQ＝6\)，
\(\therefore A Q=6 \sqrt{2}\)，\(C Q=6 \div \sqrt{2}=3 \sqrt{2}\)，
\(\therefore A C=\sqrt{\mathrm{AQ}^2+C Q^2}=3 \sqrt{10}\)，
\(\therefore A B=\sqrt{2} A C=6 \sqrt{5}\)．
故答案为：\(6 \sqrt{5}\)．
 

例2 如图，在\(△ABC\)中，\(∠ACB＝90^{\circ}\)，\(AC＝BC＝4\)，点\(D\)是\(BC\)边的中点，点\(P\)是\(AC\)边上一个动点，连接\(PD\)，以\(PD\)为边在\(PD\)的下方作等边三角形\(PDQ\)，连接\(CQ\)．则\(CQ\)的最小值是\(\underline{\quad \quad}\)．

解析
1 确定模型
\(∆PDQ\)中显然符合“奔驰模型”，故想到\(∆CDQ\)绕着\(D\)顺时针旋转\(60^{\circ}\)；
2 旋转

如图\(∆CDQ\)绕着\(D\)顺时针旋转\(60^{\circ}\)得到\(∆PDH\)，
则\(∆CDH\)是等边三角形，\(CQ=PH\)，
3 求值
\(∵∆CDH\)是等边三角形，且\(C\),\(D\)是定点，\(∴H\)是定点，
则\(PH\)的最小值是点\(H\)到\(AC\)的距离\(\dfrac{1}{2} C D=1\)，
即\(CQ\)的最小值是\(1\).
 

例3 如图，\(△ABC\)为等边三角形，\(AB＝6\)，\(D\)为\(BC\)中点，\(M\)为\(AD\)上的动点，连接\(CM\)，将线段\(CM\)绕点\(C\)逆时针方向旋转\(60^{\circ}\)得到\(CN\)，连接\(ND\)，则\(ND+CN\)的最小值为\(\underline{\quad \quad}\)．

解析
1 确定模型
\(△ABC\)为等边三角形，图形像“奔驰”，可尝试用“奔驰模型”处理问题；
而线段\(CM\)旋转\(60^{\circ}\)得到\(CN\)(已经作出旋转)，易得\(△ACM≌△BCN\)；
\(C\),\(D\)是定点，而\(N\)是动点，求\(ND+CN\)的最小值可尝试求解点\(N\)的轨迹；
2 求值
\(∵\)线段\(CM\)绕点\(C\)逆时针方向旋转\(60^{\circ}\)得到\(CN\)，
\(∴CM＝CN\)，\(∠MCN＝∠ACB＝60^{\circ}\)，\(∴∠ACM＝∠BCN\)，
\(∵AC＝CB\)，\(∴△ACM≌△BCN\)，
\(∴∠CBN＝∠CAM\)，
\(∵△ABC\)是等边三角形，点\(D\)为\(BC\)的中点，\(∴∠CAM＝30^{\circ}\)，
\(∴∠CBN＝30^{\circ}\)，
\(∴\)点\(N\)在射线\(BN\)上运动，
(确定点\(N\)的轨迹线段，则求\(ND+CN\)的最小值变成了“将军饮马模型”)
作点\(D\)关于直线\(BN\)的对称点\(D'\)，连接\(CD'\)，
则\(ND+CN\)的最小值即为\(CD'\)的长，

\(∴∠CBN＝∠D'BN＝30^{\circ}\)，\(∴△BDD'\)是等边三角形，
\(∴BD＝DC＝D'B＝D'D\)，
\(∴∠BD'C＝90^{\circ}\)，\(∠BCD'＝30^{\circ}\)，
\(∵BC=AB＝6\)，\(\therefore C D^{\prime}=3 \sqrt{3}\)，
\(∴ND+CN\)的最小值为\(3 \sqrt{3}\)．
故答案：\(3 \sqrt{3}\)．