Evans一些gap的补充(一)

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P41
计算球上的Poisson kernel的积分
\(\displaystyle\int_{\partial B(0,1)}K(x,y)dS(y)=\frac{1-|x|^2}{n\alpha(n)}\int_{\partial B(0,1)}\frac{1}{|x-y|^n}dS(y)\)
令\(I(x)=\displaystyle\int_{\partial B(0,1)}K(x,y)dS(y)\), 显然\(\Delta I(x)=0\) on \(B(0,1)\), 且由函数的旋转对称性\(I(x)=1\) on \(\partial B(0,1)\), \(I(0)=1\), 利用调和函数的强极大值原理立得

\[\begin{equation*} \int_{\partial B(0,1)}K(x,y)dS(y)=1\end{equation*} \]

P46
已知ode

\[\begin{equation*} r^{n-1}w'+\frac12 r^n w=a \end{equation*} \]

满足\(\displaystyle\lim_{r\to\infty}w=\lim_{r\to\infty}w'=0\), 则有\(a=0\)
两边同除以\(r^{n-1}\)可以得到一个一阶线性ode

\[w'+\frac{rw}{2}=\frac{a}{r^{n-1}} \]

解之可得

\[w(r)=w(0)e^{-\frac{r^2}{4}}+a\int_0^r \frac{1}{s^{n-1}}e^{\frac{s^2-r^2}4}ds \]

当\(n\ge 2\)时显然RHS中的积分不存在, 因此只有\(n=1\), 从而原方程与解即为

\[\lim_{r\to\infty}rw=2a \]

\[w(r)=w(0)e^{-\frac{r^2}4}+a\int_0^re^{\frac{s^2-r^2}4}ds \]

联立两式并使用L'Hospital法则有

\[\begin{align*} \lim_{r\to\infty}rw=&a\lim_{r\to\infty}\frac{\int_0^re^{\frac{s^2}4}ds}{\frac1re^{-\frac{r^2}4}}\\ &=a\lim_{r\to\infty}\frac{1}{2-r^{-2}}\\ &=\frac12 a=2a \end{align*}\]

这也就是说\(a=0\)
To be continued...

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