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EM@极坐标系@曲线的极坐标方程

时间：2023-10-19 12:06:55浏览次数：40

标签：EM 方程直角坐标坐标系极轴极点极坐标坐标

文章目录

EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_数形结合

abstract

极坐标系@极坐标和直角坐标的变换公式
直角坐标平移公式
曲线的极坐标方程

圆的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程

平面上的极坐标

在平面上取:

一个顶点 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_Ox_02$ ,(称为极点)
由 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_Ox_02$ 点出发的一条射线 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_数形结合_04$ ,(称为极轴)
一个长度单位
计算角度的正方向(通常取逆时针方向),

这四个要素合称为一个极坐标系

极坐标

和最常见的直角坐标系一样,极坐标系也是一种坐标系
极坐标系上确定一个点的两个部分:极径和极角
平面上的任意一点 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_数形结合_05$ 的位置可以由线段 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_Ox_06$ 的长度(极径) $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_极坐标_07$ 和 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_极坐标_08$ 到 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_Ox_06$ 的角度(极角) $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_坐标变换_10$ 来刻画,记为 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_Ox_11$

极坐标中位置和点的对应关系

在极坐标 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_极坐标_12$ 中,一般限定 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_坐标变换_13$ ;当 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_极坐标_14$ 时,就与极点重合,此时 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_坐标变换_10$ 不确定

若 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_Ox_16$ 时,规定 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_数形结合_17$ 就是 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_极坐标_18$ , $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_数形结合_19$ ;即点 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_Ox_20$ 在与极轴成 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_坐标变换_21$ 角的射线的反向延长线上,它到极点 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_Ox_02$ 的距离为 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_坐标变换_23$
在通常情况下,总认为 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_数形结合_24$ ,只有在事先说明的条件下,才允许取 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_Ox_16$

坐标确定唯一一个位置:给定点的极坐标 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_极坐标_12$ ,就唯一确定了平面上的一个点
但是平面上的一个点的极坐标并不是唯一的,他又无穷多种表示形式,因为 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_坐标变换_10$ 是任意角,终边相同的任意角有无穷多个
事实上, $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_极坐标_12$ 和 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_数形结合_29$ 代表同一个点,其中 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_Ox_30$ 为整数
因此,平面上的点与它的极坐标不是一一对应的关系,这是极坐标和直角坐标的不同之处

极坐标的常用限定

若限定 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_坐标变换_13$ , $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_Ox_32$ ,则除了极点外,平面上的点就能与它的极坐标构成一一对应的关系

极坐标描述对称点

点 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_极坐标_12$ 关于极轴的对称点 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_坐标变换_34$ ,
关于极轴的垂线 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_极坐标_35$ 的对称点是 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_坐标变换_36$ ,
关于极点 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_极坐标_37$ 的对称点是 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_Ox_38$

极坐标变换为直角坐标

设点 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_极坐标_39$ 的直角坐标和基坐标分别为 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_坐标变换_40$ , $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_极坐标_41$ ,则:

$EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_坐标变换_42$ ;
$EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_数形结合_43$ ;
$EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_坐标变换_44$ ;

这里r表示极径; $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_坐标变换_10$ 表示极角;结合三角函数的定义,直角坐标用基坐标表示为

$EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_数形结合_46$
$EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_极坐标_47$

坐标系间同位置坐标的变换

极坐标上建立同原点直角坐标

设在平面上取定了一个极坐标系 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_极坐标_08$ ,以极轴作为直角坐标系 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_坐标变换_49$ 轴的正半轴,以 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_数形结合_50$ 的射线作为 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_坐标变换_51$ 轴的正半轴;以极点作为坐标原点;长度单位不变;即可建立一个直角坐标系

直角坐标系上建立常用极坐标系

以直角坐标系 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_极坐标_52$ 为参考,选出一个点作为极点,且极轴方向通常是 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_极坐标_53$ 轴正方向,单位长度不变,建立极坐标系

在直角坐标系中,以原点 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_Ox_54$ 为极点,以 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_极坐标_55$ 轴正方向为极轴方向,单位长度不变,建立极坐标系
一般地,以直角坐标系上的任意点 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_数形结合_56$ 为极点,以 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_极坐标_55$ 轴正方向为极轴方向,单位长度不变,建立直角坐标系

极坐标与直角坐标的关系

由任意角的三角函数的定义:若点 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_数形结合_58$ 在: $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_坐标变换_10$ 终边上,且 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_数形结合_60$ ,则 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_坐标变换_61$ 的直角坐标用三角函数表示为 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_坐标变换_62$ ,其中 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_坐标变换_63$
对于极坐标为 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_极坐标_12$ 的点 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_坐标变换_61$ ,其直角坐标的两个坐标分量为: $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_数形结合_66$ , $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_Ox_67$
而由直角坐标 $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_坐标变换_40$ 可以计算极坐标的极径和极角: $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_极坐标_69$ ; $EM@极坐标系@曲线的极坐标方程_坐标变换_70$

极坐标和坐标系平移
标签：EM,方程,直角坐标,坐标系,极轴,极点,极坐标,坐标
From： https://blog.51cto.com/u_15672212/7934046

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