文章目录
abstract
- 极坐标系@极坐标和直角坐标的变换公式
- 直角坐标平移公式
- 曲线的极坐标方程
- 圆的极坐标方程
- 圆锥曲线的极坐标方程
平面上的极坐标
- 在平面上取:
- 一个顶点
,(称为极点)
- 由
点出发的一条射线
,(称为极轴)
- 一个长度单位
- 计算角度的正方向(通常取逆时针方向),
- 这四个要素合称为一个极坐标系
极坐标
- 和最常见的直角坐标系一样,极坐标系也是一种坐标系
- 极坐标系上确定一个点的两个部分:极径和极角
- 平面上的任意一点
的位置可以由线段
的长度(极径)
和
到
的角度(极角)
来刻画,记为
极坐标中位置和点的对应关系
- 在极坐标
中,一般限定
;当
时,就与极点重合,此时
不确定
- 若
时,规定
就是
,
;即点
在与极轴成
角的射线的反向延长线上,它到极点
的距离为
- 在通常情况下,总认为
,只有在事先说明的条件下,才允许取
- 坐标确定唯一一个位置:给定点的极坐标
,就唯一确定了平面上的一个点
- 但是平面上的一个点的极坐标并不是唯一的,他又无穷多种表示形式,因为
是任意角,终边相同的任意角有无穷多个
- 事实上,
和
代表同一个点,其中
为整数
- 因此,平面上的点与它的极坐标不是一一对应的关系,这是极坐标和直角坐标的不同之处
极坐标的常用限定
- 若限定
,
,则除了极点外,平面上的点就能与它的极坐标构成一一对应的关系
极坐标描述对称点
- 点
关于极轴的对称点
,
- 关于极轴的垂线
的对称点是
,
- 关于极点
的对称点是
极坐标变换为直角坐标
- 设点
的直角坐标和基坐标分别为
,
,则:
;
;
;
- 这里r表示极径;
表示极角;结合三角函数的定义,直角坐标用基坐标表示为
坐标系间同位置坐标的变换
极坐标上建立同原点直角坐标
- 设在平面上取定了一个极坐标系
,以极轴作为直角坐标系
轴的正半轴,以
的射线作为
轴的正半轴;以极点作为坐标原点;长度单位不变;即可建立一个直角坐标系
直角坐标系上建立常用极坐标系
- 以直角坐标系
为参考,选出一个点作为极点,且极轴方向通常是
轴正方向,单位长度不变,建立极坐标系
- 在直角坐标系中,以原点
为极点,以
轴正方向为极轴方向,单位长度不变,建立极坐标系
- 一般地,以直角坐标系上的任意点
为极点,以
轴正方向为极轴方向,单位长度不变,建立直角坐标系
极坐标与直角坐标的关系
- 由任意角的三角函数的定义:若点
在:
终边上,且
,则
的直角坐标用三角函数表示为
,其中
- 对于极坐标为
的点
,其直角坐标的两个坐标分量为:
,
- 而由直角坐标
可以计算极坐标的极径和极角:
;