二分

二分是一种基于一个具有非严格单调性的序列上进行搜索的算法，其复杂度为 \(O(logn)\)，在单调性的前提下，效率碾压遍历不知道多少倍。

原理

我们以下图中长度 \(n=10\) 的非严格单调递增序列 \(P\) 为例

假设此时我们询问一个数 \(x\)，我们需要在序列中找到一个数 \(y\) ，使得 \(y\) 是整个序列中所有大于等于 \(x\) 的树中最小的，即 \(y=\min\left \{ i \right \}[i \in P ,i \ge x]\)。

现在思考如何找到这个数 \(y\) 。

一种极其明显的思路是，从 \(i=1\) 处开始遍历至 \(i=10\) 处，遍历过程中实时维护变量 \(sum\) 。

for(int i=1;i<=10;i++)
{
	if(P[i]>=x) sum=min(P[i],sum);
}

当然由于序列 \(P\) 单调递增，你完全可以在找到第一个大于等于 \(x\) 的数后立刻退出循环，但是尽管如此也不能改变复杂度为 \(O(n)\) 的事实。

如果我们想 \(O(logn)\) 地找 \(y\) 怎么办？

二分！

现在我们定义两个指针变量 \(L=1,R=10\)，代表此时答案会包含在此区间内，同时算出区间 \([L,R]\) 的中点 \(mid\) （向下取整），如图

此时我们判断 \(mid\) 所在值 \(P[mid]\) 是否满足大于等于 \(x\) ，若满足，则根据序列 \(P\) 单调递增的性质，可得大于 \(x\) 中最小的树必定在区间 \([mid,R]\) 中，此刻我们更新 \(L=mid\)，并进入下一次二分

若不满足，则答案必定位于区间 \([L,mid-1]\)，为什么是 \(mid-1\)？，因为值 \(P[mid]\) 并不满足我们的条件，因此在下一次二分时，我们的答案区间不能包含 \(mid\)。此时更新 \(R=mid-1\)。

那么我们如何知道是否找到答案了呢？

在上面的过程可知，我们二分的区间总满足 \(L<R\) ，这是必然的，若 \(L=R\) 了，则证明二分结束，找到答案或答案不存在，因此我们要用一个while语句将二分过程囊括起来，而while的循环条件就设为 \(L<R\)。因为最终 \(L=R\) ，所以我们只需要输出 \(L\) 即可。且此刻 \(\forall i < mid\)，有 \(P[i] < x\)； \(\forall i \ge mid\)，有 \(p[i] > x\)。

最终的答案会有三种情况：

• \(L\in [1,n]\)

证明答案存在

• \(L > n\)

证明答案不存在，且此时序列 \(P\) 中所有值都小于 \(x\)

• \(R = 1\)

此刻你需要判断 \(P[R]\) 是否大于等于 \(x\)，以此判断答案的存在性。（事实上你可以在最初初始化指针变量 \(L,R\) 时把 \(L\) 设为 \(0\)，最终答案不存在的情况就会变成 \(R=0\)）

代码

二分有多种不同的模板，其区别大多仅在于循环条件与 \(mid\) 计算上，使用时需要根据具体情况合理修改条件即可。

以下是上面的例子的代码，也是最通用的二分模板

int L=0,R=n;
while(L<R)
{
	int mid=(L+R)/2;//or mid=(L+R)>>1;
	if(P[mid]>=x) L=mid;
	else R=mid-1;
}
printf("%d",P[L]);

例题

(updating......)