树链剖分

树链剖分常用于解决树上路径查询的问题。

原理：对于树上两点之间的路径 \(u\) -> \(v\)，根据某种策略，将之拆分成若干条链，然后利用线段树等数据结构单独维护这些子链，最后将答案合并。

常用的剖分方法：轻重边划分。

剖分

树种的边可以分为两种边：重边和轻边。

设 \(size_u\) 表示以点 \(u\) 为根的子树的节点个数，令 \(v\) 表示 \(u\) 的儿子节点中 \(size\) 值最大的，则 \(v\) 是 \(u\) 的重儿子，边 \((u,v)\) 是一条重边，对于点 \(u\) 到其他儿子的边都为轻边。

如图所示。

性质及规定

1.如果边 \((u,v)\) 为轻边，则 \(size_v \le \frac{size_u}{2}\)

因为边 \((u,v)\) 若为轻边，则证明点 \(v\) 为点 \(u\) 的非重儿子，即 \(size_v\) 在点 \(u\) 的所有儿子的 \(size\) 值中非最大，则 \(size_v\) 最大只能占 \(size_u\) 的一半，若超过一半则点 \(v\) 会成为点 \(u\) 的重儿子。

例如上图中以点 \(2\) 为根的子树，\(size_5 = \frac{size_2}{2}\) 。

2.从根到某一点 \(v\) 的路径上，轻边个数不多于 \(logn\)

略。

3.称某条路径为重路径（重链），当且仅当它全部由重边组成，一个点也算一条重路径

略。

4.每个点都在且仅在一条重路径上

对于每条从点 \(u\) 发出的边中，只会有一条重边，因此扩展到整棵树上，每个点只会被一条重边经过。

代码实现

规定以下数组意义：

\(fa_x\) : 点 \(x\) 的父节点

\(dep_x\) : 点 \(x\) 在以点 \(1\) 为根时在树上的深度

\(size_x\) : 以点 \(x\) 为根的子树的节点个数（包括点 \(x\) 本身）

\(son_x\) : 点 \(x\) 的重儿子

\(top_x\) : 点 \(x\) 所在重链的顶部节点（即深度最小的节点）

\(seg_x\) : 点 \(x\) 在线段树上映射的最底层节点下标

\(rev_x\) : 线段树中最底层位置 \(x\) 所映射的树上的点

\(seg_x\) 与 \(rev_x\) 的关系为 \(rev_{seg_x}=x\)

以上七个数组可通过两次dfs求得，第一次dfs求出前四个，第二次dfs求出后三个。

void dfs1(int x,int p)//x点，其父节点为p
{
	size[x]=1;
	fa[x]=p;//求父节点 
	dep[x]=dep[p]+1;//求深度 
	for(int i=h[x];i;i=edge[i].next)
	{
		int y=edge[i].to;
		if(y!=p)
		{
			dfs1(y,x);
			size[x]+=size[y];//求子树大小 
			if(size[y]>size[son[x]])//更新重儿子 
				son[x]=y;
		}
	}
} 

void dfs2(int x,int p)//x点，其父节点为p
{
	if(son[x])//优先更新重节点 
	{
		seg[son[x]]=++tot;//线段树映射 
		top[son[x]]=top[x];//重链顶节点传递 
		rev[tot]=son[x];//线段树反映射 
		dfs2(son[x],x);
	} 
	{
		for(int i=h[x];i;i=edge[i].next)
		{
			int y=edge[i].to;
			if(!top[y])
			{
				seg[y]=++tot;
				rev[tot]=y;
				top[y]=y;//非重链节点自开一链 
				dfs2(y,x);
			}
		}
	}
} 

//主函数中
tot=1;
seg[1];
top[1]=1;
rev[1]=1;
dfs2(1,0)

查询实现

将一条路径 \((u,v)\) 剖分成若干条重路径的过程，实际上就是寻找最近公共祖先的过程。

假定 \(top_u\) 和 \(top_v\) 不同，那么他们的 LCA 可能在其中的一条重链上，也可能在其他的重链上。但 LCA 显然不在顶点深度较大的那条重链上，所以我们先处理顶点深度较大的那条重链。假设 \(top_u\) 较大，则可以直接跳到 \(fa_{top_u}\) 处，且跳过的这一段，在线段树中是一段区间，若我们按照深度从小到大来存储点，则这段区间为 \([seg_{top_u},seg_u]\) 。当点 \(u\) 和点 \(v\) 的顶点 \(top\) 相同时，说明它们走到了同一条重链上，这时他们之间的路径也是序列上的一段区间，且两者中深度较小的点是原路径的LCA。

代码

void ask(int x,int y)//路径 x->y，视情况选择是否返回答案（void\int\...）
{
	while(top[x]!=top[y])
	{
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]])
			swap(x,y);
		query(1,1,tot,seg[top[x]],seg[x]);
		//(线段树顶点，当前区间左端，当前区间右端，目标区间左端，目标区间右端)
		x=fa[top[x]];//保证dep[top[x]]>dep[top[y]]
	}
	if(dep[x]<dep[y])
		swap(x,y);
	query(1,1,tot,seg[y],seg[x]);
	return;
}

总结

树链剖分本质上是通过轻重链区分的方式将一棵树分为若干条链，通过数据结构维护并求解，是分治思想的运用。

同时树链剖分支持单点修改操作，在原图、线段树上对应节点进行单点修改即可。

注：函数 \(query\) 实现方式与普通二分线段树无异