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三维几何变换，是在二维基础上扩展z坐标得到。三维位置齐次坐标表示为4元列向量。任意三维变换序列，可通过合并相应变换矩阵，而得到一个矩阵来表示。
三维平移
点的平移
任意点P=(x,y,z)按向量\((t_x,t_y,t_z)\)平移后，得到新位置\(P'=(x',y',z')\)，有：
\[\tag{1} x'=x+t_x, y'=y+t_y,z'=z+t_z \]用4元列向量齐次坐标表示平移变换，变换操作T是4x4矩阵：
\[\tag{2} \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} \]简洁形式：
\[\tag{3} P'=T\cdot P \]对象的平移
对象的平移通过定义该对象的所有点的平移来实现。如果对象用一组多边形表示，这可将各个表面的顶点进行平移。
三维旋转
对象可以绕任意轴旋转，但绕平行于坐标轴的旋转更容易处理，故先讨论。
正旋转方向：视线沿着坐标轴负向观察原点，绕坐标轴逆时针旋转定义为正向旋转。
三维坐标轴旋转
- 绕z轴旋转
绕z轴的二维旋转，可看做特殊三维旋转：
\[\tag{4} \begin{aligned} x' &= x\cos \theta - y\sin \theta \\ y' &= x\sin \theta + y\cos \theta \\ z' &= z \end{aligned} \]变换矩阵：
\[R_z(\theta)=\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]坐标变换写成齐次坐标的矩阵形式：
\[\tag{5} \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} \]其中，\(\theta\)表示绕z轴旋转角度。
简洁形式：
\[\tag{6} P'=R_z(\theta)\cdot P \]- 如果是绕x轴、y轴旋转呢？
可以基于式(4)，用y替代x、z替代y、x替代z。循环替换顺序：
\[\tag{7} x->y->z->x \]1）绕x轴旋转（x-axis rotation）变换公式：
\[\tag{8} \begin{aligned} y'&=y\cos\theta - z\sin\theta \\ z'&=y\sin\theta + z\cos\theta \\ x'&=x \end{aligned} \]变换矩阵：
\[R_x(\theta)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0\\ 0 & \sin\theta & -\cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]2）绕y轴旋转（y-axis rotation）变换公式：
\[\tag{9} \begin{aligned} z'&=z\cos\theta-x\sin\theta \\ x'&=z\sin\theta+x\cos\theta \\ y'&=y \end{aligned} \]变换矩阵：
\[R_y(\theta)=\begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 0 &1 \end{bmatrix} \]- 旋转矩阵的逆
可以用\(-\theta\)替换旋转角\(\theta\)，得到逆旋转矩阵为原旋转的逆。根据式(5)，
\[\tag{10} \begin{aligned} R_z(-\theta)&=\begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\&= R_z(\theta)^T \end{aligned} \]当然，求逆对于绕x轴、y轴旋转的变换矩阵同样成立。
一般三维旋转
绕任意轴的旋转，可用平移+坐标轴旋转的复合得到。
绕平行于坐标轴的轴旋转
平移+坐标轴旋转的复合=>变换矩阵。步骤：
1）平移对象，使其旋转轴与平行于该轴的坐标轴重合；
2）绕该坐标轴完成指定的旋转；
3）平移对象，将其旋转轴移回原来的位置。
对象上任意点P可通过复合变换得到新位置P'。例如，绕平行于x轴的轴旋转：
\[\tag{11} \begin{aligned} P'&=R(\theta)\cdot P \\ &=T^{-1}\cdot R_x(\theta)\cdot T\cdot P \end{aligned} \]其中，\(R(\theta)\)为旋转变换的复合矩阵，\(R_x(\theta)\)为绕x轴旋转的变换矩阵。
绕任意轴旋转
多一步，需先将旋转轴旋转到与坐标轴重合。步骤：
1）平移对象，使旋转轴通过坐标原点；
2）旋转对象，使旋转轴与某一坐标轴重合；
3）绕该坐标轴旋转指定角度；
4）逆旋转，回到原来的方向；
5）逆平移，回到原来的位置。
假设旋转轴由2个点P1、P2确定，\(P_1(x_1,y_1,z_1)，P_2(x_2,y_2,z_2)\)。
- 如果沿着P2到P1的方向观察，旋转方向为逆时针，则轴向量V可定义为：
旋转轴的单位向量u：
\[u={V\over |V|}=(a,b,c) \]其中，分量a、b、c为旋转轴的方向余弦：
\[\tag{13} a={x_2-x_1\over |V|}, b={y_2-y_1\over |V|}, c={z_2-z_1\over |V|} \]- 如果以相反方向旋转（顺时针），则要将轴向量V和单位向量u取反。
tips：何为方向余弦？
假设旋转轴单位向量u与x、y、z轴夹角分别为\(\alpha, \beta, \gamma\)，而u模（长度）为1（\(|u|=1\)），则向量u可表示为：
因此，u的分量a、b、c称为方向余弦。
下面对每一步分析：
1）平移对象，建立使旋转轴通过原点的平移变换矩阵。由于需要从P2往P1看的逆时针旋转，因此将P1（而非P2）移动到原点。变换矩阵：
2）将旋转轴旋转至与z轴重合。2次旋转：绕x轴旋转，绕y轴旋转。绕x轴旋转，将轴向量u变换到xz平面；绕y轴旋转，将u变换到z轴上。
（1）绕x轴旋转至与z轴重合，得到变换矩阵.
设u在yz平面投影为向量\(u'=(0,b,c)\)，则旋转角\(\alpha\)（u'与z轴夹角）对应余弦：
其中，\(u_z\)为z轴上单位向量，d为u'的模。
\[\tag{16} \begin{aligned} d&=\sqrt{b^2+c^2} \\ u_z&=(0,0,1) \end{aligned} \]\(u'(0,b,c)\)及其在z轴投影构成的直角三角形如下：
注意：u'在z轴投影不是\(u_z\)，也不是单位向量。
将向量u分2步旋转到z轴的示意图（注意逆时针旋转）：
等价于将u'（u在yz平面投影）绕x轴旋转α角：
绕x轴旋转α角，可以将u旋转到xz平面。对应旋转矩阵：
\[\tag{17} R_x(\alpha)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]而\(\sin\alpha\)可由叉积得到：
\[\begin{aligned} u'\times u_z&=u_x|u'||u_z|\sin\alpha, 叉积方向符合右手定则, 这里u_x(1,0,0)代表方向 \\ &=u_x|u'|\cdot 1\cdot \sin\alpha \\ &= u_x\cdot b \end{aligned} \]记\(|u'|=d\)，有
\[u_x=(1,0,0)\implies |u_x|=1 \\ \therefore d\sin\alpha=b, \sin\alpha={b\over d} \tag{18} \]现已求得\(\cos\alpha, \sin\alpha\)，代入(17)，可得：
\[\tag{19} R_x(\alpha)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & {c\over d} & -{b\over d} & 0\\ 0 & {b\over d} & {c\over d} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]（2）再绕y轴旋转，将xz平面上单位向量旋转至与z轴正方向重合，得到变换矩阵。
单位向量u绕x轴逆时针旋转α角得到位于xz平面的单位向量u''，再绕y轴逆时针旋转β角，得到位于z轴的单位向量\(u_z(0,0,1)\)。
u''是u(a,b,c)绕x轴旋转得到，因此x分量不变；因为u''位于xz平面，所以y分量为0。设u''=(a,0,z)，有
\(
\because u''由u旋转得到\\
\therefore 长度不变, |u''|=|u|=\sqrt {a^2+b^2+c^2} = 1\\
\therefore a^2+b^2+c^2=1\\
\because d=\sqrt {b^2+c^2}>0\\
\therefore a^2+d^2=1\\
而根据u''坐标, |u''|=\sqrt {a^2+z^2}=1=\sqrt {a^2+d^2}\\
\therefore |z|=d
\)
这里取z=d。
思考问题：为什么z=d，而不是z=-d？
Donald Hearn注，蔡士杰译《计算机图形学（第4版）》给出的解释是：因为u'旋转到z轴上，故u''的z分量为d。这里不以为意，因为u'是u在yz平面投影，与u''并没有直接联系。而且，d为u'的模（正直），但u旋转后得到u''的z分量完全可能为负值。
因为旋转变换矩阵与旋转角余弦、正弦值有关，因此通过点积、叉积来求。
点积求\(\cos\beta\)：
叉积求\(\sin\beta\)：
\[\begin{aligned} u''\times u_z&=u_y|u''||u_z|\sin\beta \\ &=u_y\cdot (-a) \end{aligned} \\ \implies \sin\beta=-a \tag{21} \]因此，u''绕y轴的旋转变换矩阵：
\[\tag{22} \begin{aligned} R_y(\beta)&=\begin{bmatrix} \cos\beta & 0 & \sin\beta & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -\sin\beta & 0 & \cos\beta & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} d & 0 & -a & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ a & 0 & d & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} \]3）绕旋转轴旋转
经过平移、绕x轴旋转、绕y轴旋转后，可以将旋转轴对齐到z轴正方向。此时，绕旋转轴旋转\(\theta\)，可以直接用关于z轴旋转的矩阵变换：
4）5）逆旋转、逆平移回原来的位置
对任意轴的旋转，变换矩阵可以表示成：
三维缩放
相当于原点的缩放
相对于原点的三维缩放变换：
\[\tag{25} \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & s_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} \]其中，缩放参数\(s_x, s_y, s_z\)为指定的任意正值。原坐标与变换后坐标关系为：
\[\tag{26} \begin{aligned} x'&=x\cdot s_x\\ y'&=y\cdot s_y\\ z'&=z\cdot s_z \end{aligned} \]简写：
\[\tag{27} P'=S\cdot P \]缩放系数>1 ，代表沿该方向放大物体；缩放系数<1，代表沿该方向缩小物体；缩放系数\(s_x=s_y=s_z=1\)，代表保持原来的形状。缩放系数必须>0。
相对于任意点的缩放
步骤：
- 平移指定点到原点；
- 使用相对于原点缩放对象；
- 将指定点平移回原位置。
相当于任意点\((x_f,y_f,z_f)\)的缩放变换矩阵：
\[\tag{28} \begin{aligned} T(x_f,y_f,z_f)\cdot S(s_x,s_y,s_z)\cdot T(-x_f, -y_f, -z_f) &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & x_f\\ 0 & 1 & 0 & y_f\\ 0 & 0 & 1 & z_f\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & s_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_f\\ 0 & 1 & 0 & -y_f\\ 0 & 0 & 1 & -z_f\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & (1-s_x)x_f\\ 0 & s_y & 0 & (1-s_y)y_f\\ 0 & 0 & s_z & (1-s_z)z_f\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} \]三维复合变换
类似于二维复合变换，可以将三维变换序列中各个变换矩阵相乘，得到三维复合变换。最右边的矩阵是最先作用于对象的，最左边是最后一个。
OpenGL矩阵栈
使用glMatrixMode选择建模观察复合变换矩阵，用于以后的OpenGL变换调用。
对支持的4种模式（建模观察、投影、纹理、颜色）的每一种，OpenGL维护一个矩阵栈。开始时，每个栈仅包含单位矩阵；处理场景时，栈顶的矩阵称为该模式的“当前矩阵”。指定观察和几何变换后，建模观察栈（modeview matrix stack）顶是一个4x4复合矩阵，应用于场景的观察变换和各种几何变换。
因为可能要创建多个视图和变换序列，然后分别保存复合矩阵，所以OpenGL提供深度至少为32的建模观察栈。
- 查询特定实现中建模观察栈的有效位置数
glGetIntegerv(GL_MAX_MODEVIEW_STACK_DEPTH, stackSize);
将一个整数值返回给数组stackSize。另外3个矩阵模式（投影、纹理、颜色）的栈深度至少为2，可用下列符号常量确定：GL_MAX_PROJECTION_STACK_DEPTH, GL_MAX_TEXTURE_STACK_DEPTH, GL_MAX_COLOR_STACK_DEPTH。
- 查询栈中当前有多少矩阵
glGetIntegerv(GL_MODEVIEW_STACK_DEPTH, numMats);
如果在栈处理前调用该函数，则返回1，此时仅包含单位阵。类似的复合常量也可用来确定其他三个栈中当前矩阵数
- 操作栈
复制栈顶的当前矩阵，兵存入第二个栈位置
glPushMatrix();
破坏栈顶矩阵，使第二个矩阵称为当前矩阵。如果“弹出”栈顶，栈内至少要2个矩阵；否则出错。
glPopMatrix();